Gumbelovo rozdělení

Vlastnosti

Gumbelovo rozdělení je spojité rozdělení pravděpodobnosti. Gumbelova rozdělení jsou rodinou rozdělení stejného obecného tvaru. Tato rozdělení se liší svými parametry polohy a měřítka: střední hodnota ("průměr") rozdělení určuje jeho polohu a směrodatná odchylka ("variabilita") určuje měřítko.

Rozpoznává se Gumbelova funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF) a Gumbelova kumulativní distribuční funkce (CDF).

PDF

Pravděpodobnost P výskytu hodnoty V mezi mezními hodnotami A a B, stručně zapsaná jako P(A<V<B), se v PDF zjistí pomocí plochy pod křivkou PDF mezi A a B.

Příklad pravděpodobnosti v PDF

Na obrázku normální funkce hustoty pravděpodobnosti by hodnoty na vodorovné ose měly znít: μ-3σ, μ-2σ, μ-1σ, μ+1σ, μ+2σ a μ+3σ. μ = průměr, σ = směrodatná odchylka. Plochy pod křivkou v intervalech, z nichž každý má šířku jedné směrodatné odchylky, udávají pravděpodobnost výskytu v těchto intervalech.  Příklad: Pravděpodobnost výskytu hodnoty V v intervalu mezi A=μ+1σ a B=μ+2σ je P(μ+1σ<V<μ+2σ)=13,6 % nebo 0,136.

Na rozdíl od normálního rozdělení je Gumbelovo PDF a-symetrické a vychýlené doprava.

CDF

V CDF se pravděpodobnost, že hodnota V je menší než A, zjistí přímo jako hodnota CDF v bodě A:

P ( V ≤ A ) = C D F ( A ) {\displaystyle P(V\leq A)=CDF(A)} .

Příklad pravděpodobnosti v CDF

Na obrázku Gumbelova CDF červená křivka naznačuje, že pravděpodobnost, že V bude menší než 5, je 0,9 (neboli 90 %), zatímco u tmavě modré čáry je tato pravděpodobnost 0,7 neboli 70 %.

 
Normální funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF) je symetrická.  

Matematika

CDF

Matematické vyjádření CDF je:

C D F ( A ) = e - e - ( A - μ ) / β , {\displaystyle CDF(A)=e^{-e^{-(A-\mu )/\beta }},}

kde μ je modus (hodnota, kde funkce hustoty pravděpodobnosti dosahuje svého vrcholu), e je matematická konstanta, přibližně 2,718, a β je hodnota související se směrodatnou odchylkou (σ) :

β = σ 6 / π , {\displaystyle \beta =\sigma {\sqrt {6}}/\pi ,}

kde π je řecký symbol pro číslo pí, jehož hodnota se blíží 22/7 neboli 3,142, a symbol {\displaystyle {\sqrt {\,\,}}} znamená odmocninu.

Mód a medián

Modus μ lze zjistit z mediánu M, což je hodnota A, kde CDF(A)=0,5, a β:

μ = M + β ln ( ln 2 ) , {\displaystyle \mu =M+\beta \ln \left(\ln 2\right),}

kde ln je přirozený logaritmus.

Průměr

Střední hodnota E(x) je dána vztahem:

E ( x ) = μ + c β , {\displaystyle \operatorname {E} (x)=\mu +c\beta ,}

kde c {\displaystyle c} = Eulerova konstanta ≈ {\displaystyle \approx } 0.5772.

 
Existují dvě datové řady: červená a modrá. Obě mají stejný průměr : 100, ale modrá skupina má větší směrodatnou odchylku (SD=σ=50) než červená skupina (SD=σ=10).  

Odhad

V datové řadě lze parametry modus (μ) a β odhadnout z průměru, mediánu a směrodatné odchylky. Výpočet posledních tří veličin je vysvětlen na příslušných stránkách Wiki. Poté lze pomocí vzorců uvedených v předchozí části vypočítat faktory μ a β. Tímto způsobem lze určit CDF Gumbelova rozdělení náležejícího datům a zjistit pravděpodobnost zajímavých hodnot dat.

 
Fitované kumulativní Gumbelovo rozdělení na maximální jednodenní říjnové srážky pomocí CumFreq  

Aplikace

V hydrologii se Gumbelovo rozdělení používá k analýze takových veličin, jako jsou měsíční a roční maximální hodnoty denních srážek a objemů říčních průtoků, a také k popisu sucha.

Modrý obrázek znázorňuje příklad dosazení Gumbelova rozdělení na maximální jednodenní říjnové srážky, na kterém je znázorněn také 90% pás spolehlivosti založený na binomickém rozdělení.