Eulerova rovnost

Touto rovnicí je Eulerova identita, někdy nazývaná Eulerova rovnice:

e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

  • π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi }, pi

π ≈ 3.14159 {\displaystyle \pi \aprox 3.14159} {\displaystyle \pi \approx 3.14159}

  • e {\displaystyle e} {\displaystyle e}, Eulerovo číslo

e ≈ 2,71828 {\displaystyle e\aprox 2,71828} {\displaystyle e\approx 2.71828}

ı = √ - 1 {\displaystyle \imath =\surd {-1}} {\displaystyle \imath =\surd {-1}}

Eulerova identita je pojmenována po švýcarském matematikovi Leonardu Eulerovi. Není jasné, zda ji vymyslel on sám.

Respondenti v anketě časopisu Physics World označili tuto identitu za "nejhlubší matematický výrok, jaký byl kdy napsán", "podivuhodný a vznešený", "plný kosmické krásy" a "ohromující".




Matematický důkaz Eulerovy identity pomocí Taylorovy řady

Mnoho rovnic lze zapsat jako řadu členů sečtených dohromady. Tomu se říká Taylorova řada

Exponenciální funkci e x {\displaystyle e^{x}}{\displaystyle e^{x}} lze zapsat jako Taylorovu řadu

e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! = ∑ k = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \nad n!}}} {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}

Stejně tak lze sinus zapsat jako

sin x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - − x 7 7 ! = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \nad 3!}+{x^{5} \nad 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}} {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}}

a kosinus jako

cos x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - − x 6 6 ! = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \nad 2!}+{x^{4} \nad 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}} {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}}

Zde vidíme, jak se utváří vzorec. e x {\displaystyle e^{x}}{\displaystyle e^{x}} se zdá být součtem sinusové a kosinusové Taylorovy řady, jen se všemi znaménky změněnými na kladná. Identita, kterou ve skutečnosti dokazujeme, je e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}{\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} .

Na levé straně je tedy e i x {\displaystyle e^{ix}}. {\displaystyle e^{ix}}, jehož Taylorova řada je 1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \nad 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots } {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots }

Vidíme zde vzorec, že každý druhý člen je i krát sinusový člen a že ostatní členy jsou kosinusové členy.

Na pravé straně je cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)} {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)}, jejíž Taylorova řada je Taylorova řada kosinu plus i krát Taylorova řada sinusu, což lze ukázat jako:

( 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! ) {\displaystyle (1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )} {\displaystyle (1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )}

pokud je sečteme, dostaneme

1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \nad 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots } {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots }

Proto:

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}

Pokud nyní nahradíme x za π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi }, máme..

  • e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )} {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )}

Pak víme, že

  • cos ( π ) = - 1 {\displaystyle \cos(\pi )=-1} {\displaystyle \cos(\pi )=-1}

a

  • sin ( π ) = 0 {\displaystyle \sin(\pi )=0} {\displaystyle \sin(\pi )=0}

Proto:

  • e i π = 0 - 1 {\displaystyle e^{i\pi }=0-1} {\displaystyle e^{i\pi }=0-1}
  • e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

QED


AlegsaOnline.com - 2020 / 2021 - License CC3