Vlastní čísla a vlastní vektory

Základy

Existuje-li čtvercová matice A, skalár λ a nenulový vektor v, pak λ je vlastní číslo a v je vlastní vektor, pokud je splněna následující rovnice:

A v = λ v . {\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} \,. }

Jinými slovy, je-li matice A krát vektor v rovna skaláru λ krát vektor v, pak λ je vlastní číslo v, kde v je vlastní vektor.

Vlastní prostor A je množina všech vlastních vektorů se stejnou vlastní hodnotou spolu s nulovým vektorem. Nulový vektor však není vlastním vektorem.

Tyto myšlenky se často rozšiřují na obecnější situace, kdy skaláry jsou prvky libovolného pole, vektory jsou prvky libovolného vektorového prostoru a lineární transformace mohou, ale nemusí být reprezentovány násobením matic. Například místo reálných čísel mohou být skaláry komplexní čísla; místo šipek mohou být vektory funkce nebo frekvence; místo násobení matic mohou být lineární transformace operátory, jako je derivace z kalkulu. To je jen několik z nesčetných příkladů, kde jsou vlastní vektory a vlastní hodnoty důležité.

V takových případech ztrácí pojem směru svůj běžný význam a má abstraktnější definici. Ale i v tomto případě, pokud se tento abstraktní směr danou lineární transformací nemění, se používá předpona "vlastní", jako ve slovech vlastní funkce, vlastní režim, vlastní plocha, vlastní stav a vlastní frekvence.

Vlastní čísla a vlastní vektory mají mnoho aplikací v čisté i aplikované matematice. Používají se při faktorizaci matic, v kvantové mechanice, v systémech rozpoznávání obličejů a v mnoha dalších oblastech.

Příklad

Pro matici A

A = [ 2 1 1 2 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}. }

vektor

x = [ 3 - 3 ] {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}}

je vlastní vektor s vlastní hodnotou 1. Skutečně,

A x = [ 2 1 1 2 ] [ 3 - 3 ] = [ ( 2 ⋅ 3 ) + ( 1 ⋅ ( - 3 ) ) ( 1 ⋅ 3 ) + ( 2 ⋅ ( - 3 ) ) ] = [ 3 - 3 ] = 1 ⋅ [ 3 - 3 ] . {\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\konec{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3\-3\konec{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(2\cdot 3)+(1\cdot (-3))\\(1\cdot 3)+(2\cdot (-3))\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}. }

Na druhé straně vektor

x = [ 0 1 ] {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}

není vlastním vektorem, protože

[ 2 1 1 2 ] [ 0 1 ] = [ ( 2 ⋅ 0 ) + ( 1 ⋅ 1 ) ( 1 ⋅ 0 ) + ( 2 ⋅ 1 ) ] = [ 1 2 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\1& 2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(2\cdot 0)+(1\cdot 1)\\(1\cdot 0)+(2\cdot 1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}. }

a tento vektor není násobkem původního vektoru x.