Vlnka

Wavelet je matematická funkce, která se používá k zápisu funkce nebo signálu v podobě jiných funkcí, které jsou jednodušší pro studium. Mnoho úloh zpracování signálu lze chápat v termínech waveletové transformace. Neformálně řečeno, signál lze vidět pod objektivem se zvětšením daným měřítkem waveletu. Přitom můžeme vidět pouze informace, které jsou určeny tvarem použitého waveletu.

Anglický termín "wavelet" zavedli počátkem 80. let 20. století francouzští fyzikové Jean Morlet a Alex Grossman. Použili francouzské slovo "ondelette" (což znamená "malá vlna"). Později se toto slovo dostalo do angličtiny překladem "onde" do "wave", čímž vznikl "wavelet".

Wavelet je (komplexní) funkce z Hilbertova prostoru ψ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \v L^{2}(\mathbb {R} )} $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )$ . Pro praktické aplikace by měl splňovat následující podmínky.

Musí mít konečnou energii.

∫ - ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty$

Musí splňovat podmínku přípustnosti.

∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}}(\omega )|^{2}} \nad {\omega }}d\omega <\infty } $\int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty$ kde ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi }}} ${\hat {\psi }}$ je Fourierova transformace ψ {\displaystyle \psi \,} $\psi \,$

Podmínka nulového průměru vyplývá z podmínky přípustnosti.

∫ - ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0} $\int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0$

Funkce ψ {\displaystyle \psi \,} $\psi \,$ se nazývá mateřský wavelet. Její přeložená (posunutá) a rozšířená (škálovaná) normalizovaná verze jsou definovány takto.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}}\right)} $\psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)$

Původní mateřský wavelet má parametry a = 1 {\displaystyle a=1} $a=1$ a b = 0 {\displaystyle b=0} $b=0$ . Translace je popsána parametrem b {\displaystyle b} $b$ a dilatace parametrem a {\displaystyle a}.

Morletův wavelet

Otázky a odpovědi

Otázka: Co je to wavelet?

Odpověď: Wavelet je matematická funkce, která se používá k zápisu funkce nebo signálu v termínech jiných funkcí, které jsou jednodušší ke studiu. Lze ji pozorovat pod objektivem se zvětšením daným měřítkem waveletu, což nám umožňuje vidět pouze informaci určenou jejím tvarem.

Otázka: Kdo zavedl pojem "wavelet"?

Odpověď: Anglický termín "wavelet" zavedli počátkem 80. let 20. století francouzští fyzikové Jean Morlet a Alex Grossman, kteří použili francouzské slovo "ondelette" (což znamená "malá vlna"). Později bylo toto slovo přeneseno do angličtiny překladem slova "onde" na "wave", čímž vzniklo slovo "wavelet".

Otázka: Co musí wavelet splňovat pro praktické použití?

Odpověď: Pro praktické použití musí mít wavelet konečnou energii a splňovat podmínku přípustnosti. Tato podmínka přípustnosti říká, že musí mít nulovou střední hodnotu a také splňovat integrál přes frekvenci, který je menší než nekonečno.

Otázka: Co se rozumí translací a dilatací, když se mluví o waveletech?

Odpověď: Translací se rozumí posunutí nebo přesunutí mateřského waveletu podél časové osy, zatímco dilatací se rozumí škálování nebo roztažení/zmenšení mateřských waveletů podél časové osy. Tyto dva parametry (translace a dilatace) se popisují pomocí b, resp. a.

Otázka: Co znamená, že wavelet má nulovou střední hodnotu?

Odpověď: Nulový průměr znamená, že při integraci přes všechny hodnoty t od záporného nekonečna do kladného nekonečna by se měl součet rovnat 0, tj. ∫-∞∞ψ(t)dt=0 . Tento požadavek vyplývá ze samotné podmínky přípustnosti, jak bylo uvedeno výše.

Otázka: Jak je definována mateřská vlnovka?

Odpověď: Mateřské wavelety jsou definovány jako normalizované verze přeložené (posunuté) a rozšířené (zmenšené) verze původních mateřských waveletů, které mají parametry "a" = 1 a "b" = 0 .