Wavelet je matematická funkce, která se používá k zápisu funkce nebo signálu v podobě jiných funkcí, které jsou jednodušší pro studium. Mnoho úloh zpracování signálu lze chápat v termínech waveletové transformace. Neformálně řečeno, signál lze vidět pod objektivem se zvětšením daným měřítkem waveletu. Přitom můžeme vidět pouze informace, které jsou určeny tvarem použitého waveletu.
Anglický termín "wavelet" zavedli počátkem 80. let 20. století francouzští fyzikové Jean Morlet a Alex Grossman. Použili francouzské slovo "ondelette" (což znamená "malá vlna"). Později se toto slovo dostalo do angličtiny překladem "onde" do "wave", čímž vznikl "wavelet".
Wavelet je (komplexní) funkce z Hilbertova prostoru ψ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \v L^{2}(\mathbb {R} )}
. Pro praktické aplikace by měl splňovat následující podmínky.
Musí mít konečnou energii.
∫ - ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty } 
Musí splňovat podmínku přípustnosti.
∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}}(\omega )|^{2}} \nad {\omega }}d\omega <\infty } 
kde ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi }}}
je Fourierova transformace ψ {\displaystyle \psi \,} 
Podmínka nulového průměru vyplývá z podmínky přípustnosti.
∫ - ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0} 
Funkce ψ {\displaystyle \psi \,} se nazývá mateřský wavelet. Její přeložená (posunutá) a rozšířená (škálovaná) normalizovaná verze jsou definovány takto.
ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}}\right)} 
Původní mateřský wavelet má parametry a = 1 {\displaystyle a=1}
a b = 0 {\displaystyle b=0}
. Translace je popsána parametrem b {\displaystyle b}
a dilatace parametrem a {\displaystyle a}
.
Waveletová transformace (CWT) a rekonstrukce
Nejběžnější definice spojité waveletové transformace (Continuous Wavelet Transform, CWT) signálu f(t) je
Wf(a,b) = ∫ f(t) · (1/√a) · overline{ψ((t−b)/a)} dt, kde a > 0 (škála) a b ∈ ℝ (posun).
Pokud mateřský wavelet ψ splňuje podmínku přípustnosti, lze signál f rekonstruovat zpět pomocí inverzní transformace
f(t) = (1/Cψ) ∫_{0}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} Wf(a,b) · (1/√a) · ψ((t−b)/a) db da / a^2, kde konstantu Cψ určuje Fourierova transformace ψ (viz výše).
Tato reprezentace dává lokální časově-frekvenční informace o signálu: malé hodnoty a odpovídají vysokým frekvencím (dobrá časová lokalizace), velké hodnoty a odpovídají nízkým frekvencím (dobrá frekvenční lokalizace).
Hlavní vlastnosti waveletů
- Lokální analýza: Wavelety lokalizují informace v čase i frekvenci současně (oproti Fourierově transformaci, která je pouze frekvenční).
- Nulový průměr: Z podmínky přípustnosti plyne ∫ ψ(t) dt = 0, tedy wavelet „nevidí“ stálou složku signálu.
- Vanishing moments (nulové momenty): Pokud má wavelet N nulových momentů (∫ t^k ψ(t) dt = 0 pro k = 0,…,N−1), potlačuje polynomy řádu < N a je citlivý na singularity a hrany signálu.
- Podpora a regularita: Některé wavelety (např. Daubechies) mají kompaktní podporu — jsou nulové mimo určité pásmo, což je výhodné pro numeriku. Jiné (Morlet) mají dobrou frekvenční lokalizaci.
- Ortogonálnost vs. biortogonálnost: U diskrétních stavů lze konstruovat ortogonální bázové wavelety (např. Haar, Daubechies), nebo biortogonální páry filtrů pro lepší symetrii a rekonstrukci.
Příklady mateřských waveletů
- Haar: Nejjednodušší, diskontinuální, velmi rychlý, používá se pro ilustraci DWT a multirezoluce.
- Daubechies (DbN): Kompaktní podpora, N nulových momentů, dobrý kompromis mezi regularitou a podporou.
- Symlets: Modifikace Daubechies s lepší symetrií.
- Morlet: Gaussovský obálkový oscilátor, vhodný pro spojitou analýzu časově-frekvenčních struktur (např. v geofyzice nebo bio-signálech).
- Mexican hat (Ricker): Druhá derivace Gaussovy funkce, používá se pro detekci špiček a singularit.
Diskrétní waveletová transformace (DWT) a filtr‑banky
Pro numerické zpracování signálů se často používá DWT, která pracuje s diskrétními škálami a translacemi (typicky dyadickými: a = 2^j, b = k·2^j). Implementuje se pomocí páru filtrů (nižší pásmo – low-pass, vyšší pásmo – high-pass) a decimace (downsampling). Tento přístup umožňuje rychlou multirezolutní dekompozici s komplikací O(N) pro N vzorků.
Multiresolution analysis (MRA) rozkládá signál do úrovní přiblížení a detailů — to je základní princip použitý v kompresi i v odšumování.
Aplikace ve zpracování signálu a obrazu
- Odšumování (denoising): Prahování koeficientů waveletové transformace (hard/soft thresholding) potlačuje šum a zachovává hrany.
- Kompresace: JPEG2000 využívá DWT pro efektivní kompresi obrazů s lepší kvalitou při vysoké kompresi než klasický JPEG.
- Detekce hran a singularit: Wavelety s vhodným počtem nulových momentů jsou citlivé na náhlé změny signálu (hrany v obraze, špičky v časových řadách).
- Analýza časově-proměnných frekvencí: Úlohy jako analýza EEG/ECG, zpracování zvuku, radarových či seismických dat těží z lokalizace v čase i frekvenci.
- Extrahování příznaků a klasifikace: Koeficienty waveletu slouží jako příznaky pro strojové učení (rozpoznávání vzorů, detekce poruch).
Praktické poznámky při výběru waveletu
- Volba závisí na úloze: pro kompresi se hodí wavelety s kompaktní podporou a dobrým počtem nulových momentů; pro časově-frekvenční analýzu spojitá Morletova rodina.
- Symetrie filtru je důležitá, pokud chcete minimalizovat fázové zkreslení (např. u obrazu preferovat symetrické nebo biortogonální wavelety).
- Zpracování okrajů (padding, periodické ohraničení, reflexe) ovlivní výsledek DWT a musí se volit podle povahy dat.
- Numerická stabilita a rychlost: implementace pomocí filtr‑banky (pyramida) je efektivní a široce dostupná v knihovnách (MATLAB, Python PyWavelets, atd.).
Waveletová teorie je rozsáhlé pole propojující harmonickou analýzu, numeriku a aplikované zpracování signálů. Díky své schopnosti zachytit lokální struktury v signálu se wavelety staly standardním nástrojem v mnoha oborech od komunikací přes medicínskou diagnostiku až po geofyziku a kompresi obrazů.
