Vlnková transformace je časově-frekvenční reprezentace signálu. Používáme ji například k redukci šumu, extrakci funkcí nebo kompresi signálu.

Waveletova transformace spojitého signálu je definována jako

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,} {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,},

kde

  • ψ {\displaystyle \psi }\psi je tzv. mateřský wavelet,
  • a {\displaystyle a} aoznačuje waveletovou dilataci,
  • b {\displaystyle b}{\displaystyle b} označuje časový posun waveletu a
  • {\displaystyle *}Symbol ∗ {\displaystyle *} označuje komplexní konjugát.

V případě a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}^{m}}{\displaystyle a={a_{0}}^{m}} a b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT} {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT}kde a 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1} {\displaystyle a_{0}>1}, T > 0 {\displaystyle T>0} a m{\displaystyle T>0} {\displaystyle m} a km {\displaystyle k} jsou kceločíselné konstanty, nazývá se waveletová transformace diskrétní waveletovou transformací (spojitého signálu).

V případě a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}}{\displaystyle a=2^{m}} a b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT}. {\displaystyle b=2^{m}kT}kde m > 0 {\displaystyle m>0} {\displaystyle m>0}, nazývá se diskrétní waveletová transformace dyadická. Je definována jako

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,},

kde

  • m {\displaystyle m}m je frekvenční stupnice,
  • k {\displaystyle k}k je časová stupnice a
  • T {\displaystyle T}{\displaystyle T} je konstanta, která závisí na mateřském waveletu.

Diadickou diskrétní waveletovou transformaci je možné přepsat jako

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,}{\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} ,

kde h m {\displaystyle h_{m}}{\displaystyle h_{m}} je impulsní charakteristika spojitého filtru, která je pro dané m {\displaystyle m}} totožná s ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}^{*}}{\displaystyle {\psi _{m}}^{*}} m.

Analogicky je dyadická waveletová transformace s diskrétním časem (diskrétního signálu) definována jako