Vlnková transformace

Vlnková transformace je časově-frekvenční reprezentace signálu. Používáme ji například k redukci šumu, extrakci funkcí nebo kompresi signálu.

Waveletova transformace spojitého signálu je definována jako

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,$ ,

kde

ψ {\displaystyle \psi } $\psi$ je tzv. mateřský wavelet,
a {\displaystyle a} označuje waveletovou dilataci,
b {\displaystyle b} $b$ označuje časový posun waveletu a
$*$ Symbol ∗ {\displaystyle *} označuje komplexní konjugát.

V případě a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}^{m}} $a={a_{0}}^{m}$ a b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT} $b={a_{0}}^{m}kT$ kde a 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1} $a_{0}>1$ , T > 0 {\displaystyle T>0} a m $T>0$ {\displaystyle m} a k {\displaystyle k} jsou celočíselné konstanty, nazývá se waveletová transformace diskrétní waveletovou transformací (spojitého signálu).

V případě a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}} $a=2^{m}$ a b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT}. $b=2^{m}kT$ kde m > 0 {\displaystyle m>0} $m>0$ , nazývá se diskrétní waveletová transformace dyadická. Je definována jako

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,$ ,

kde

m {\displaystyle m} je frekvenční stupnice,
k {\displaystyle k} je časová stupnice a
T {\displaystyle T} $T$ je konstanta, která závisí na mateřském waveletu.

Diadickou diskrétní waveletovou transformaci je možné přepsat jako

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,$ ,

kde h m {\displaystyle h_{m}} $h_{m}$ je impulsní charakteristika spojitého filtru, která je pro dané m {\displaystyle m}} totožná s ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}^{*}} ${\psi _{m}}^{*}$ .

Analogicky je dyadická waveletová transformace s diskrétním časem (diskrétního signálu) definována jako

Spojitá waveletová transformace signálu frekvenčního rozkladu. Použitý symlet s 5 mizejícími momenty.

Otázky a odpovědi

Otázka: Co je to vlnková transformace?

A: Waveletová transformace je časově-frekvenční reprezentace signálu, která se používá k redukci šumu, extrakci funkcí nebo kompresi signálu.

Otázka: Jak je definována waveletová transformace spojitých signálů?

Odpověď: Waveletová transformace spojitých signálů je definována jako integrál přes všechny hodnoty funkce vynásobené mateřským waveletem, kde parametry "a" a "b" označují dilataci, resp. časový posun.

Otázka: Co jsou to dyadické diskrétní waveletové transformace?

Odpověď: Dyadické diskrétní waveletové transformace jsou diskrétní verze běžných diskrétních waveletových transformací s frekvenční stupnicí "m", časovou stupnicí "k" a konstantou "T". Lze je přepsat jako integrál nad všemi hodnotami funkce vynásobený impulzním charakteristickým filtrem, který je pro dané m identický s mateřským waveletem.

Otázka: Co v této souvislosti znamená "mateřský wavelet"?

Odpověď: V tomto kontextu se "mateřské wavelety" vztahují na funkce, které se používají ve spojení s jinými funkcemi jako základ pro výpočet určitého typu transformace (v tomto případě waveletové transformace).

Otázka: Jak se počítají dyadické diskrétní Wavelety?

Odpověď: Dyadické diskrétní wavelety se počítají pomocí integrálu přes všechny hodnoty funkce vynásobené impulzním charakteristickým filtrem, který je totožný s mateřským waveletem pro dané m. Navíc vyžadují jako parametry frekvenční měřítko m, časové měřítko k a konstantu T.

Otázka: Co představují "a" a "b" při definici spojitých waveletů?

Odpověď: Při definování spojitých Waveletů představuje "a" dilataci, zatímco "b" představuje časový posun.