AlegsaOnline.com

Čtyřrozměrná platónská tělesa

Autor: Leandro Alegsa

21-02-2022

V matematice je konvexní pravidelný 4polytop (nebo polychron) čtyřrozměrný (4D) polytop, který je zároveň pravidelný a konvexní. Jedná se o čtyřrozměrnou obdobu platónských těles (ve třech rozměrech) a pravidelných mnohoúhelníků (ve dvou rozměrech).

Tyto polytopy poprvé popsal švýcarský matematik Ludwig Schläfli v polovině 19. století. Schläfli zjistil, že takovýchto útvarů je přesně šest. Pět z nich lze považovat za vyšší rozměrové analogie platónských těles. Existuje ještě jeden další útvar (24-buněčný), který nemá žádný trojrozměrný ekvivalent.

Každý konvexní pravidelný čtyřpolyp je ohraničen množinou trojrozměrných buněk, které jsou všechny platónskými tělesy stejného typu a velikosti. Ty jsou k sobě podél svých příslušných stěn přiloženy pravidelným způsobem.

Vlastnosti

V následujících tabulkách jsou uvedeny některé vlastnosti šesti konvexních pravidelných mnohoúhelníků. Všechny symetrické grupy těchto polychor jsou Coxeterovy grupy a jsou uvedeny v notaci popsané v tomto článku. Číslo za názvem grupy je její pořadí.

Jména	Rodina	Schläfli symbol	Vrcholy	Hrany	Tváře	Buňky	Vrcholové figury	Duální polytop	Skupina symetrie
Pentachoron5-buněkpentatophyperpyramidahypertetraedr4-simplex	simplex (n-simplex)	{3,3,3}	5	10	10 trojúhelníky	5 tetraedry	tetraedry	(self-dual)	A₄	120
Tesseractoctachoron8-cellhypercube4-cube	hyperkrychle (n-krychle)	{4,3,3}	16	32	24 čtverce	8 kostky	tetraedry	16 buněk	B₄	384
Hexadekachoron16-buněkhoplexhyperoktaedr4-ortoplex	křížový polytop (n-orthoplex)	{3,3,4}	8	24	32 trojúhelníky	16 tetraedry	oktaedry	tesseract	B₄	384
Ikositrachoron24-celloctaplexpolyoctahedron		{3,4,3}	24	96	96 trojúhelníky	24 oktaedry	kostky	(self-dual)	F₄	1152
Hekatonikosachoron120-celldodekaplexhyperdodekaedrpolydodekaedr		{5,3,3}	600	1200	720 pětiúhelníky	120 dodekaedry	tetraedry	600 buněk	H₄	14400
Hexakosichoron600 buněktetraplexhyperikosaedrpolytetraedr		{3,3,5}	120	720	1200 trojúhelníky	600 tetraedry	icosahedra	120 buněk	H₄	14400

Protože hranice každého z těchto útvarů je topologicky ekvivalentní třísféře, jejíž Eulerova charakteristika je rovna nule, máme čtyřrozměrnou obdobu Eulerovy polyedrické formule:

N0 - N +1 N 2- N = 3{\displaystyle0 N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,} $N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,$

kde N_k označuje počet k-ploch v polytopu (vrchol je 0-plocha, hrana je 1-plocha atd.).

Vizualizace

V následující tabulce jsou uvedeny některé dvourozměrné projekce těchto polytopů. Různé další vizualizace naleznete na dalších webových stránkách níže. Pod Schläfliho symbolem jsou uvedeny také grafy Coxeterova-Dynkinova diagramu.

5 buněk	8 buněk	16 buněk	24 buněk	120 buněk	600 buněk
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}

Drátěné ortografické projekce uvnitř Petrieho polygonů.

Pevné ortografické projekce
tetraedrická obálka (buňkově/vrcholově soustředěná)	kubická obálka (centrovaná na buňky)	osmistěnná obálka (vrcholově centrovaná)	kuboktaedrický obal (buněčně centrovaný)	zkrácený kosočtvercovýtahedronovýobal (centrovaný na buňky)	Pentakisův ikosidodekaedrální obal (vrcholově soustředěný)
Schlegelovy diagramy (perspektivní projekce)
(Zaměřeno na buňky)	(Zaměřeno na buňky)	(Zaměřeno na buňky)	(Zaměřeno na buňky)	(Zaměřeno na buňky)	(Vrcholově zaměřené)
Drátové stereografické projekce (hypersférické)

Související stránky

Pravidelný polytop
Platónská pevná látka

Otázky a odpovědi

Otázka: Co je to konvexní pravidelný čtyřpolyp?

Odpověď: Konvexní pravidelný 4-polytop je čtyřrozměrný polytop, který je pravidelný i konvexní.

Otázka: Jaké jsou analogie konvexních regulárních 4-polytopů ve třech a dvou rozměrech?

Odpověď: Analogy konvexních pravidelných čtyřpolytopů ve třech rozměrech jsou platónská tělesa, zatímco ve dvou rozměrech jsou to pravidelné mnohoúhelníky.

Otázka: Kdo jako první popsal konvexní pravidelné čtyřpolytopy?

Odpověď: Švýcarský matematik Ludwig Schläfli poprvé popsal konvexní pravidelné čtyřpolytopy v polovině 19. století.

Otázka: Kolik je konvexních pravidelných 4polypólů?

Odpověď: Existuje přesně šest konvexních pravidelných 4-polytopů.

Otázka: Čím je mezi konvexními regulárními 4-polytopy jedinečný 24-buněčný polytop?

Odpověď: 24buněčný polytop nemá mezi konvexními regulárními 4polytopy žádný trojrozměrný ekvivalent.

Otázka: Jaké trojrozměrné buňky ohraničují každý konvexní pravidelný čtyřpolyp?

Odpověď: Každý konvexní pravidelný čtyřpolyp je ohraničen množinou trojrozměrných buněk, které jsou všechny platónskými tělesy stejného typu a velikosti.

Otázka: Jak jsou trojrozměrné buňky v konvexním pravidelném čtyřpolytopu k sobě připojeny?

Odpověď: Trojrozměrné buňky jsou v konvexním pravidelném 4-polytopu podél svých příslušných stěn spojeny pravidelným způsobem.