Nadkrychle

Autor: Leandro Alegsa Datum vytvoření: 20. října 2021

V geometrii je hyperkrychle n-rozměrná obdoba čtverce (n = 2) a krychle (n = 3). Je to uzavřený, kompaktní, konvexní útvar, jehož 1-skeleton se skládá ze skupin protilehlých rovnoběžných úseček zarovnaných v každém z rozměrů prostoru, navzájem kolmých a stejně dlouhých. Nejdelší úhlopříčka jednotkové hyperkrychle v rozměru n je rovna n {\displaystyle {\sqrt {n}} ${\sqrt {n}}$ .

N-rozměrná hyperkostka se také nazývá n-kostka nebo n-rozměrná krychle. Používá se také termín "měrný polytop", zejména v pracích H. S. M. Coxetera (původně od Elteho, 1912), který je však již překonaný.

Hyperkostka je speciálním případem hyperobdélníku (nazývaného také n-úhelník).

Jednotková hyperkrychle je hyperkrychle, jejíž strana má délku jedné jednotky. Často se "jednotková hyperkrychle" nazývá hyperkrychle, jejíž rohy (nebo vrcholy) jsou 2n bodů v Rn s každou souřadnicí rovnou 0 nebo 1.

Konstrukce

Hyperkrychli lze definovat zvýšením počtu rozměrů tvaru:

0 - Bod je hyperkrychle nulové dimenze.

1 - Posuneme-li tento bod o jednu jednotku délky, vymeteme úsečku, která je jednotkovou hyperkostkou o rozměru jedna.

2 - Posuneme-li tuto úsečku o její délku kolmo na sebe, vznikne dvourozměrný čtverec.

3 - Posuneme-li čtverec o jednotku délky ve směru kolmém k rovině, na které leží, vznikne trojrozměrná krychle.

4 - Posuneme-li krychli o jednotku délky do čtvrtého rozměru, vznikne čtyřrozměrná jednotková hyperkrychle (jednotkový teserakt).

Tento postup lze zobecnit na libovolný počet rozměrů. Tento proces vymetání objemů lze matematicky formalizovat jako Minkowského součet: d-rozměrná hyperkostka je Minkowského součtem d vzájemně kolmých úseček jednotkové délky, a je tedy příkladem zonotopu.

1-skeleton hyperkostky je graf hyperkostky.

Schéma znázorňující vytvoření teseraktu z bodu.

Animace ukazující, jak vytvořit teserakt z bodu.

Související stránky

Simplex - n-rozměrná obdoba trojúhelníku
Hyperobdélník - obecný případ hyperkrychle, jehož základnou je obdélník.

Otázky a odpovědi

Otázka: Co je to hyperkrychle?

Odpověď: Hyperkrychle je n-rozměrná obdoba čtverce (n = 2) a krychle (n = 3). Je to uzavřený, kompaktní, konvexní útvar, jehož 1-skeleton se skládá ze skupin protilehlých rovnoběžných úseček zarovnaných v každém z rozměrů prostoru, navzájem kolmých a stejně dlouhých.

Otázka: Jaká je nejdelší úhlopříčka n-rozměrné hyperkostky?

Odpověď: Nejdelší úhlopříčka n-rozměrné hyperkostky je rovna n {\displaystyle {\sqrt {n}}.

Otázka: Existuje pro n-rozměrnou hyperkrychli ještě jiný termín?

Odpověď: N-rozměrná hyperkostka se také nazývá n-kostka nebo n-rozměrná krychle. Používal se také termín "měrný polytop", ale ten byl již nahrazen.

Otázka: Co znamená "jednotková hyperkrychle"?

Odpověď: Jednotková hyperkrychle je hyperkrychle, jejíž strana má délku jedné jednotky. Často se jednotková hyperkrychle vztahuje na specifický případ, kdy všechny rohy mají souřadnice rovné 0 nebo 1.

Otázka: Jak můžeme definovat "hyperobdélník"?

Odpověď: Hyperobdélník (nazývaný také n-úhelník) je definován jako obecný případ hyperkostky.