Euler nejprve upozornil, že na volbě trasy uvnitř každé pevniny nezáleží. Jedinou důležitou vlastností trasy je pořadí, v jakém jsou překračovány mosty. Změnil tedy problém na abstraktní pojmy. Tím položil základy teorie grafů. Odstranil všechny vlastnosti kromě seznamu zemských masivů a mostů, které je spojují. V jazyce teorie grafů nahradil každé zemské těleso abstraktním "vrcholem" neboli uzlem. Každý most pak nahradil abstraktním spojením, "hranou". Hrana (silnice) zaznamenávala, které dva vrcholy (zemské masy) byly spojeny. Tímto způsobem vytvořil graf.
→
→ 
Nakreslený graf je abstraktním obrazem problému. Hrany lze tedy spojovat libovolným způsobem. Důležité je pouze to, zda jsou dva body spojeny, nebo ne. Změnou obrázku grafu se samotný graf nemění.
Dále si Euler všiml, že (s výjimkou koncových bodů procházky), kdykoli do vrcholu vstoupíme mostem, mostem vrchol opustíme. V každé procházce grafem se počet vstupů do vrcholu rovná počtu výstupů z něj. Jestliže každý most byl překročen přesně jednou, vyplývá z toho, že pro každou zemskou masu (kromě těch, které byly vybrány pro začátek a cíl) musí být počet mostů, které se této zemské masy dotýkají, sudý. Je to proto, že pokud existuje n mostů, přechází se přes něj přesně 2nkrát. Všech čtyř pevninských masivů v původním problému se však dotýká lichý počet mostů (jednoho se dotýká 5 mostů a každého z dalších tří se dotýkají 3 mosty). Existují nejvýše dvě tělesa, která mohou být koncovými body procházky. Věta o procházce, která každý most překročí jednou, tedy vede k rozporu.
V moderním jazyce Euler ukázal, že to, zda je možné projít grafem, který každou hranu protíná jednou, závisí na stupních uzlů. Stupeň uzlu je počet hran, které se ho dotýkají. Euler ukazuje, že nutnou podmínkou pro procházku je, aby byl graf spojitý a měl přesně nula nebo dva uzly lichého stupně. Tento Eulerův výsledek později dokázal Carl Hierholzer. Taková procházka se nyní nazývá Eulerova cesta nebo Eulerova procházka. Pokud existují uzly lichého stupně, pak každá Eulerova cesta začíná v jednom z nich a končí v druhém. Protože graf představující historický Königsberg má čtyři uzly lichého stupně, nemůže mít Eulerovu cestu.
Eulerova práce byla 26. srpna 1735 předána Petrohradské akademii. Byla publikována pod názvem Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (Řešení problému týkajícího se geometrie polohy) v časopise Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae v roce 1741. V angličtině je k dispozici v knize The World of Mathematics.
