Schwarzschildova metrika: řešení v obecné teorii relativity pro černé díry

Schwarzschildova metrika: přehled řešení Einsteina pro nerotující černé díry. Vysvětlení metriky, gravitačního pole a pohybu částic v prostoročase.

Autor: Leandro Alegsa

10-02-2026 22:04

Schwarzschildovu metriku v roce 1916 vypočítal Karl Schwarzschild jako první jednoduché řešení vakua Einsteinových rovnic pole v. Toto řešení, nazývané také Schwarzschildovo řešení, je základní model používaný v obecné teorii relativity v oblasti astrofyziky. Metrika popisuje geometrii prostoročasu; Schwarzschildova metrika konkrétně popisuje gravitační pole kolem ideálního, nerotujícího a přesně sférického tělesa (typicky černé díry) bez elektrického náboje a bez magnetickéhopole, přičemž kosmologická konstanta je nulová.

Ve standardních Schwarzschildových souřadnicích (t, r, θ, φ) má metrika následující tvar:

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}. $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$

Význam parametrů a souřadnic

V těchto výrazech jsou G Newtonova gravitační konstanta, c rychlost světla a M hmotnost zdroje gravitačního pole (měřena z velké vzdálenosti). Konstantní výraz

r_s = 2GM / c^2 (Schwarzschildův poloměr) definuje charakteristickou délku související s hmotností. Souřadnice r není přímo geometrická vzdálenost, ale tzv. redukovaný poloměr: obvod kružnice v rovině θ = π/2 je 2πr.

Horizonty a singularity

Schwarzschildovo řešení obsahuje dvě zásadní místa:

r = r_s (r = 2GM/c^2) — tzv. událostní horizont. V Schwarzschildových souřadnicích se zde zdánlivě divergují komponenty metriky (tzv. souřadnicová singularita). Tato singularita ale není fyzikální; pomocí jiných souřadnic (Eddington–Finkelsteinových nebo Kruskal–Szekeresových) lze metrickou tenzoru plynule rozšířit přes horizont. Událostní horizont odděluje oblasti, odkud není možné uniknout na vnější prostoročas (pro budoucí směr času).
r = 0 — skutečná (fyzická) singularita, kde křivost prostoročasu (např. Kretschmannův skalár) diverguje a známé klasické rovnice GR selhávají. O této oblasti se uvažuje, že ji vyřeší kvantová gravitace.

Fyzikální důsledky pro pohyb částic a světla

Geodetiky: Dráhy volně padajících částic a světelných paprsků jsou určené geodetikami metriky. Pro částice s nenulovou klidovou hmotností (timelike geodetiky) a pro fotony (null geodetiky) existují efektivní potenciály, které určují možné kruhové a spirální orbity.
Fotonová sféra: Nejsou-li rotace a náboj, existuje kruhová dráha pro fotony na r = 3GM/c^2 (nestabilní). Pro r < 3GM/c^2 nemohou existovat stabilní kruhové drahy pro světlo.
ISCO (innermost stable circular orbit): Pro testovací částice na kruhových drahách kolem Schwarzschildovy černé díry je nejvnitřnější stabilní kruhová dráha v r = 6GM/c^2. Vnitřně odtud již kruhové dráhy nejsou stabilní.
Gravitační časová dilatace a rudý posuv: Hodiny blíže k hmotnému tělesu běží pomaleji vůči vzdálenému pozorovateli. V konkrétních invariantsích: vlastní čas τ a Schwarzschildův koordinační čas t jsou spojené faktorem √(1 − 2GM/(rc^2)). To způsobuje gravitační červený posun světla unikajícího z hlubokého gravitačního pole.
Zatížení světla a perihelium: Odchylky trajektorií světla (ohnutí světla) a posuv perihelií planet (např. Merkura) jsou předpovědi, které Schwarzschildovo řešení v limitě slabého pole dává a které byly potvrzeny pozorováním.

Koordinátové rozšíření a globální struktura

Abychom překonali souřadnicovou singularitu na r = r_s, lze použít:

Eddington–Finkelsteinovy souřadnice — ukazují, že průchod horizontem je pro volně padající pozorovatele pravidelný.
Kruskal–Szekeresovy souřadnice — poskytují maximální analytické rozšíření Schwarzschildova prostoročasu a ukazují celkovou globální strukturu včetně druhé "zrcadlové" oblasti a bílých děr (v ideálním matematickém modelu).

Omezení a souvislosti

Schwarzschildovo řešení je jednoduché a velmi užitečné, ale má omezení:

Platí pro vakuu (mimo zdroj hmoty) a pro sférickou symetrii. Vnitřní řešení (uvnitř rozloženého tělesa) je jiné.
Nezohledňuje rotaci vodorovného zdroje – reálné astrofyzikální černé díry obvykle rotují, a jejich správným popisem je Kerrovo řešení. Pokud by zdroj měl i náboj, platí Reissner–Nordström.
Birkhoffova věta říká, že jakékoli sféricky symetrické řešení vakua kolem hmotného rozdělení je statické a popsatelné Schwarzschildovou metrikou (tedy vně hustotního rozložení je řešení vždy Schwarzschildovo).

Krátké poznámky k kvantovým a pozorovacím aspektům

Čistě klasická Schwarzschildova černá díra nemá teplotu ani vyzařuje, avšak kvantové efekty v zakřiveném prostoročasu (Hawkingovo záření) vedou k malé teplotě černé díry úměrné 1/M. Pozorování stínů černých děr (např. snímky z Event Horizon Telescope) a pohyby materiálu v blízkosti horizontu jsou v souladu s očekáváním z metrik jako Schwarzschildova a její rotující verze (Kerr).

Shrnutí

Schwarzschildova metrika je základní exactní řešení obecné relativity popisující vnější gravitaci sférického, nenabitým a nerotujícím objektem. Poskytuje klíčová pojmenování jako Schwarzschildův poloměr (r_s), událostní horizont a fyzikální singularitu v r = 0, a vysvětluje mnoho pozorovatelných jevů (gravit. časová dilatace, ohyb světla, posun perihelií). Pro hlubší analýzu je užitečné přejít na jiné souřadnicové systémy a zvažovat také rotující či nabité varianty řešení pro realistické astrofyzikální objekty.

Odvození

Ačkoli složitější způsob výpočtu Schwarzschildovy metriky lze nalézt pomocí Christoffelových symbolů, lze ji také odvodit pomocí rovnic pro únikovou rychlost ( v e {\displaystyle v_{e}} $v_{e}$ ), dilataci času (dt'), kontrakci délky (dr'):

v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}} $v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}$ (1)

v je rychlost částice
G je gravitační konstanta
M je hmotnost černé díry
r je vzdálenost částice od těžkého objektu.

d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} $dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$ (2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} $dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ (3)

dt' je skutečná změna času částice
dt je změna času částice
dr' je skutečná uražená vzdálenost
dr je změna vzdálenosti částice
v je rychlost částice
c je rychlost světla

Poznámka: skutečný časový interval a skutečná vzdálenost, kterou částice urazí, se liší od času a vzdálenosti vypočtených v klasických fyzikálních výpočtech, protože se pohybuje v tak silném gravitačním poli!

Pomocí rovnice pro plochý prostoročas ve sférických souřadnicích:

( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}}. $(ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (4)

ds je dráha částice

θ {\displaystyle \theta } $\theta$ je úhel
d θ {\displaystyle \theta } $\theta$ a d ϕ {\displaystyle \phi } $\phi$ jsou změny úhlů

Dosazením rovnic pro únikovou rychlost, dilataci času a kontrakci délky (rovnice 1, 2 a 3) do rovnice pro plochý prostoročas (rovnice 4) získáme Schwarzschildovu metriku:

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}. $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (5)

Z této rovnice můžeme odvodit Schwarzschildův poloměr ( r s {\displaystyle r_{s}} $r_{s}$ ), poloměr této černé díry. Ačkoli se tento údaj nejčastěji používá k popisu Schwarzschildovy černé díry, Schwarzschildův poloměr lze vypočítat pro jakýkoli těžký objekt.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (6)

r s {\displaystyle r_{s}} $r_{s}$ je nastavená hranice poloměru objektu

Otázky a odpovědi

Otázka: Co je to Schwarzschildova metrika?

Odpověď: Schwarzschildova metrika je rovnice z obecné teorie relativity v oblasti astrofyziky, která popisuje, jak se částice pohybuje prostorem v blízkosti černé díry. Vypočítal ji Karl Schwarzschild jako řešení Einsteinových rovnic pole v roce 1916.

Otázka: Na co se metrika vztahuje?

Odpověď: Metrika označuje rovnici, která popisuje prostoročas; Schwarzschildova metrika konkrétně popisuje gravitační pole v okolí Schwarzschildovy černé díry.

Otázka: Jaké jsou některé vlastnosti Schwarzschildovy černé díry?

Odpověď: Schwarzschildova černá díra nerotuje, má kulový tvar a nemá magnetické pole. Kromě toho je její kosmologická konstanta nulová.

Otázka: Jak můžeme popsat gravitační pole v okolí Schwarzschildovy černé díry?

Odpověď: Můžeme ho popsat pomocí Schwartzchildovy metrické rovnice, která popisuje, jak se částice pohybují prostorem v blízkosti tohoto typu černé díry.

Otázka: Kdo tuto rovnici vypočítal jako první?

Odpověď: Tuto rovnici poprvé vypočítal Karl Schwartzchild v roce 1916 jako řešení Einsteinových rovnic pole.

Otázka: Co v této rovnici představuje (ds)^2?

Odpověď: (ds)^2 představuje vzdálenost mezi dvěma body v časoprostoru měřenou vzhledem k časovým a prostorovým souřadnicím.

Vyhledávání