Schwarzschildovu metriku v roce 1916 vypočítal Karl Schwarzschild jako první jednoduché řešení vakua Einsteinových rovnic pole v. Toto řešení, nazývané také Schwarzschildovo řešení, je základní model používaný v obecné teorii relativity v oblasti astrofyziky. Metrika popisuje geometrii prostoročasu; Schwarzschildova metrika konkrétně popisuje gravitační pole kolem ideálního, nerotujícího a přesně sférického tělesa (typicky černé díry) bez elektrického náboje a bez magnetickéhopole, přičemž kosmologická konstanta je nulová.

Ve standardních Schwarzschildových souřadnicích (t, r, θ, φ) má metrika následující tvar:

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}. {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}

Význam parametrů a souřadnic

V těchto výrazech jsou G Newtonova gravitační konstanta, c rychlost světla a M hmotnost zdroje gravitačního pole (měřena z velké vzdálenosti). Konstantní výraz

r_s = 2GM / c^2 (Schwarzschildův poloměr) definuje charakteristickou délku související s hmotností. Souřadnice r není přímo geometrická vzdálenost, ale tzv. redukovaný poloměr: obvod kružnice v rovině θ = π/2 je 2πr.

Horizonty a singularity

Schwarzschildovo řešení obsahuje dvě zásadní místa:

  • r = r_s (r = 2GM/c^2) — tzv. událostní horizont. V Schwarzschildových souřadnicích se zde zdánlivě divergují komponenty metriky (tzv. souřadnicová singularita). Tato singularita ale není fyzikální; pomocí jiných souřadnic (Eddington–Finkelsteinových nebo Kruskal–Szekeresových) lze metrickou tenzoru plynule rozšířit přes horizont. Událostní horizont odděluje oblasti, odkud není možné uniknout na vnější prostoročas (pro budoucí směr času).
  • r = 0 — skutečná (fyzická) singularita, kde křivost prostoročasu (např. Kretschmannův skalár) diverguje a známé klasické rovnice GR selhávají. O této oblasti se uvažuje, že ji vyřeší kvantová gravitace.

Fyzikální důsledky pro pohyb částic a světla

  • Geodetiky: Dráhy volně padajících částic a světelných paprsků jsou určené geodetikami metriky. Pro částice s nenulovou klidovou hmotností (timelike geodetiky) a pro fotony (null geodetiky) existují efektivní potenciály, které určují možné kruhové a spirální orbity.
  • Fotonová sféra: Nejsou-li rotace a náboj, existuje kruhová dráha pro fotony na r = 3GM/c^2 (nestabilní). Pro r < 3GM/c^2 nemohou existovat stabilní kruhové drahy pro světlo.
  • ISCO (innermost stable circular orbit): Pro testovací částice na kruhových drahách kolem Schwarzschildovy černé díry je nejvnitřnější stabilní kruhová dráha v r = 6GM/c^2. Vnitřně odtud již kruhové dráhy nejsou stabilní.
  • Gravitační časová dilatace a rudý posuv: Hodiny blíže k hmotnému tělesu běží pomaleji vůči vzdálenému pozorovateli. V konkrétních invariantsích: vlastní čas τ a Schwarzschildův koordinační čas t jsou spojené faktorem √(1 − 2GM/(rc^2)). To způsobuje gravitační červený posun světla unikajícího z hlubokého gravitačního pole.
  • Zatížení světla a perihelium: Odchylky trajektorií světla (ohnutí světla) a posuv perihelií planet (např. Merkura) jsou předpovědi, které Schwarzschildovo řešení v limitě slabého pole dává a které byly potvrzeny pozorováním.

Koordinátové rozšíření a globální struktura

Abychom překonali souřadnicovou singularitu na r = r_s, lze použít:

  • Eddington–Finkelsteinovy souřadnice — ukazují, že průchod horizontem je pro volně padající pozorovatele pravidelný.
  • Kruskal–Szekeresovy souřadnice — poskytují maximální analytické rozšíření Schwarzschildova prostoročasu a ukazují celkovou globální strukturu včetně druhé "zrcadlové" oblasti a bílých děr (v ideálním matematickém modelu).

Omezení a souvislosti

Schwarzschildovo řešení je jednoduché a velmi užitečné, ale má omezení:

  • Platí pro vakuu (mimo zdroj hmoty) a pro sférickou symetrii. Vnitřní řešení (uvnitř rozloženého tělesa) je jiné.
  • Nezohledňuje rotaci vodorovného zdroje – reálné astrofyzikální černé díry obvykle rotují, a jejich správným popisem je Kerrovo řešení. Pokud by zdroj měl i náboj, platí Reissner–Nordström.
  • Birkhoffova věta říká, že jakékoli sféricky symetrické řešení vakua kolem hmotného rozdělení je statické a popsatelné Schwarzschildovou metrikou (tedy vně hustotního rozložení je řešení vždy Schwarzschildovo).

Krátké poznámky k kvantovým a pozorovacím aspektům

Čistě klasická Schwarzschildova černá díra nemá teplotu ani vyzařuje, avšak kvantové efekty v zakřiveném prostoročasu (Hawkingovo záření) vedou k malé teplotě černé díry úměrné 1/M. Pozorování stínů černých děr (např. snímky z Event Horizon Telescope) a pohyby materiálu v blízkosti horizontu jsou v souladu s očekáváním z metrik jako Schwarzschildova a její rotující verze (Kerr).

Shrnutí

Schwarzschildova metrika je základní exactní řešení obecné relativity popisující vnější gravitaci sférického, nenabitým a nerotujícím objektem. Poskytuje klíčová pojmenování jako Schwarzschildův poloměr (r_s), událostní horizont a fyzikální singularitu v r = 0, a vysvětluje mnoho pozorovatelných jevů (gravit. časová dilatace, ohyb světla, posun perihelií). Pro hlubší analýzu je užitečné přejít na jiné souřadnicové systémy a zvažovat také rotující či nabité varianty řešení pro realistické astrofyzikální objekty.