Schwarzschildova metrika
Schwarzschildovu metriku vypočítal Karl Schwarzschild jako řešení Einsteinových rovnic pole v roce 1916. Je známá také jako Schwarzschildovo řešení a jedná se o rovnici z obecné teorie relativity v oblasti astrofyziky. Metrika označuje rovnici, která popisuje prostoročas; Schwarzschildova metrika konkrétně popisuje gravitační pole kolem Schwarzschildovy černé díry - nerotující, sférické černé díry bez magnetickéhopole, kde je kosmologická konstanta nulová.
Je to v podstatě rovnice, která popisuje, jak se částice pohybuje prostorem v blízkosti černé díry.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}. 
Odvození
Ačkoli složitější způsob výpočtu Schwarzschildovy metriky lze nalézt pomocí Christoffelových symbolů, lze ji také odvodit pomocí rovnic pro únikovou rychlost ( v e {\displaystyle v_{e}}
), dilataci času (dt'), kontrakci délky (dr'):
v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}} 
(1)
v je rychlost částice
G je gravitační konstanta
M je hmotnost černé díry
r je vzdálenost částice od těžkého objektu.
d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} 
(2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} 
(3)
dt' je skutečná změna času částice
dt je změna času částice
dr' je skutečná uražená vzdálenost
dr je změna vzdálenosti částice
v je rychlost částice
c je rychlost světla
Poznámka: skutečný časový interval a skutečná vzdálenost, kterou částice urazí, se liší od času a vzdálenosti vypočtených v klasických fyzikálních výpočtech, protože se pohybuje v tak silném gravitačním poli!
Pomocí rovnice pro plochý prostoročas ve sférických souřadnicích:
( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}}. 
(4)
ds je dráha částice
θ {\displaystyle \theta } 
je úhel
d θ {\displaystyle \theta } a d ϕ {\displaystyle \phi } 
jsou změny úhlů
Dosazením rovnic pro únikovou rychlost, dilataci času a kontrakci délky (rovnice 1, 2 a 3) do rovnice pro plochý prostoročas (rovnice 4) získáme Schwarzschildovu metriku:
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}. 
(5)
Z této rovnice můžeme odvodit Schwarzschildův poloměr ( r s {\displaystyle r_{s}}
), poloměr této černé díry. Ačkoli se tento údaj nejčastěji používá k popisu Schwarzschildovy černé díry, Schwarzschildův poloměr lze vypočítat pro jakýkoli těžký objekt.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(6)
r s {\displaystyle r_{s}} je nastavená hranice poloměru objektu
Otázky a odpovědi
Otázka: Co je to Schwarzschildova metrika?
Odpověď: Schwarzschildova metrika je rovnice z obecné teorie relativity v oblasti astrofyziky, která popisuje, jak se částice pohybuje prostorem v blízkosti černé díry. Vypočítal ji Karl Schwarzschild jako řešení Einsteinových rovnic pole v roce 1916.
Otázka: Na co se metrika vztahuje?
Odpověď: Metrika označuje rovnici, která popisuje prostoročas; Schwarzschildova metrika konkrétně popisuje gravitační pole v okolí Schwarzschildovy černé díry.
Otázka: Jaké jsou některé vlastnosti Schwarzschildovy černé díry?
Odpověď: Schwarzschildova černá díra nerotuje, má kulový tvar a nemá magnetické pole. Kromě toho je její kosmologická konstanta nulová.
Otázka: Jak můžeme popsat gravitační pole v okolí Schwarzschildovy černé díry?
Odpověď: Můžeme ho popsat pomocí Schwartzchildovy metrické rovnice, která popisuje, jak se částice pohybují prostorem v blízkosti tohoto typu černé díry.
Otázka: Kdo tuto rovnici vypočítal jako první?
Odpověď: Tuto rovnici poprvé vypočítal Karl Schwartzchild v roce 1916 jako řešení Einsteinových rovnic pole.
Otázka: Co v této rovnici představuje (ds)^2?
Odpověď: (ds)^2 představuje vzdálenost mezi dvěma body v časoprostoru měřenou vzhledem k časovým a prostorovým souřadnicím.
