Poté, co Kopa v roce 1949 skončil na druhém místě ve francouzských mládežnických fotbalových zkouškách, zahájil v 17 letech profesionální kariéru v SCO Angers v Ligue 2 a o dva roky později přestoupil do Remeše, s níž v letech 1953 a 1955 získal titul mistra Francie.
V roce 1953 vyhrál se Stade de Reims Latinský pohár, kde ve finále porazil AC Milán 3:0, a pomohl mu dostat se do finále Evropského poháru 1956, které tým prohrál s Realem Madrid Alfreda Di Stéfana 4:3.
Kopa byl také prvním francouzským hráčem, který vyhrál Evropský pohár, když v roce 1957 porazil ve finále Fiorentinu 2:0. V letech 1958 a 1959 se stal mistrem Evropy znovu, naposledy proti bývalému týmu Stade de Reims, kde hrál Just Fontaine.
V sezóně 1959-60 se Kopa vrátil do Francie, kde ukončil kariéru v Remeši, kde v letech 1960 a 1962 získal další mistrovské tituly. Celkem ve francouzské nejvyšší soutěži nastřílel 75 gólů ve 346 zápasech a v roce 1958 získal Zlatý míč francouzského fotbalu.
Ve francouzské fotbalové reprezentaci vstřelil Kopa v letech 1952-1962 ve 45 zápasech 18 gólů. Hrál na mistrovství světa ve fotbale 1958 ve Švédsku.