Prvočíselná věta
Věta o prvočíslech je věta z teorie čísel. Prvočísla nejsou v číselném oboru rozložena rovnoměrně. Věta formalizuje myšlenku, že pravděpodobnost, že se trefíme do prvočísla mezi 1 a daným číslem, je s rostoucím počtem čísel stále menší. Tato pravděpodobnost je přibližně n/ln(n), kde ln(n) je funkce přirozeného logaritmu. To znamená, že pravděpodobnost trefit prvočíslo s 2n číslicemi je přibližně o polovinu menší než s n číslicemi. Například mezi kladnými celými čísly s nejvýše 1000 číslicemi je prvočíslo přibližně jedno z 2300 (ln 101000 ≈ 2302,6), zatímco mezi kladnými celými čísly s nejvýše 2000 číslicemi je prvočíslo přibližně jedno ze 4600 (ln 102000 ≈ 4605,2). Jinými slovy, průměrná mezera mezi po sobě jdoucími prvočísly mezi prvními N celými čísly je zhruba ln(N).
Patnáctiletý Carl Friedrich Gauss měl v roce 1793 podezření, že existuje souvislost mezi prvočísly a logaritmy. Adrien-Marie Legendre měl na tuto souvislost podezření také v roce 1798. Jacques Hadamard a Charles-Jean de La Vallée Poussin dokázali větu o prvočíslech v roce 1896, tedy více než sto let po Gaussovi.
Otázky a odpovědi
Otázka: Co je věta o prvočíslech?
Odpověď: Věta o prvočíslech je věta z teorie čísel, která vysvětluje, jak jsou prvočísla rozložena v číselném oboru.
Otázka: Jsou prvočísla rovnoměrně rozložena v číselném oboru?
Odpověď: Ne, prvočísla nejsou v číselném oboru rozložena rovnoměrně.
Otázka: Co věta o prvočíslech formalizuje?
Odpověď: Věta o prvočíslech formalizuje myšlenku, že pravděpodobnost, že padne prvočíslo mezi 1 a daným číslem, se s rostoucím počtem čísel zmenšuje.
Otázka: Jaká je pravděpodobnost, že padne prvočíslo mezi 1 a daným číslem?
Odpověď: Pravděpodobnost, že mezi 1 a daným číslem padne prvočíslo, je přibližně n/ln(n), kde ln(n) je funkce přirozeného logaritmu.
Otázka: Je pravděpodobnost trefit prvočíslo s 2n číslicemi větší než pravděpodobnost trefit prvočíslo s n číslicemi?
Odpověď: Ne, pravděpodobnost, že trefíte prvočíslo s 2n číslicemi, je přibližně o polovinu menší než s n číslicemi.
Otázka: Kdo dokázal větu o prvočíslech?
Odpověď: Jacques Hadamard a Charles-Jean de La Vallée Poussin dokázali větu o prvočíslech v roce 1896, tedy více než sto let poté, co Gauss v roce 1793 vyslovil podezření na souvislost mezi prvočísly a logaritmy.
Otázka: Jaký je průměrný rozdíl mezi po sobě jdoucími prvočísly mezi prvními N celými čísly?
Odpověď: Průměrná mezera mezi po sobě jdoucími prvočísly mezi prvními N celými čísly je přibližně ln(N).
