Polární moment setrvačnosti

Poznámka: V různých oborech se termín moment setrvačnosti používá pro různé momenty. Ve fyzice je moment setrvačnosti striktně druhý moment hmotnosti vzhledem ke vzdálenosti od osy, který charakterizuje úhlové zrychlení objektu v důsledku působícího momentu. Ve strojírenství (zejména strojním a stavebním) se moment setrvačnosti běžně vztahuje k druhému momentu plochy. Při čtení polárního momentu setrvačnosti dbejte na to, abyste si ověřili, že se jedná o "polární druhý moment plochy", a nikoliv o moment setrvačnosti. Polární druhý moment plochy bude mít jednotky délky na čtvrtou mocninu (např. m 4 {\displaystyle m^{4}} nebo i n 4 {\displaystyle in^{4}} ), zatímco moment setrvačnosti je hmotnost krát čtverec délky (např. k g ∗ m 2 {\displaystyle kg*m^{2}} nebo l b ∗ i n 2 {\displaystyle lb*in^{2}}). ).

Druhý polární moment plochy (označovaný také jako "polární moment setrvačnosti") je mírou schopnosti objektu odolávat kroucení v závislosti na jeho tvaru. Je to jeden z aspektů druhého momentu plochy spojený s větou o kolmé ose, kde rovinný druhý moment plochy využívá tvaru průřezu nosníku k popisu jeho odolnosti proti deformaci (ohybu), když je vystaven síle působící v rovině rovnoběžné s jeho neutrální osou, polární druhý moment plochy využívá tvaru průřezu nosníku k popisu jeho odolnosti proti deformaci (kroucení), když je moment (točivý moment) působen v rovině kolmé na neutrální osu nosníku. Zatímco rovinný druhý moment plochy se nejčastěji označuje písmenem I {\displaystyle I} , polární druhý moment plochy se nejčastěji označuje buď I z {\displaystyle I_{z}}, nebo I z {\displaystyle I_{z}}. nebo písmenem J {\displaystyle J}. , v technických učebnicích.

Vypočtené hodnoty polárního druhého momentu plochy se nejčastěji používají k popisu odolnosti plného nebo dutého válcového hřídele proti kroucení, jako je tomu u nápravy nebo hnacího hřídele vozidla. Při použití na neválcové nosníky nebo hřídele se výpočty polárního druhého momentu plochy stávají chybnými v důsledku deformace hřídele/nosníku. V těchto případech by se měla použít torzní konstanta, kdy se k výpočtu hodnoty přičte korekční konstanta.

Polární druhý moment plochy přenáší jednotky délky na čtvrtou mocninu ( L 4 {\displaystyle L^{4}} ); metry na čtvrtou mocninu ( m 4 {\displaystyle m^{4}} ) v metrické soustavě jednotek a palce na čtvrtou mocninu ( i n 4 {\displaystyle in^{4}} ) v imperiální soustavě jednotek. Matematický vzorec pro přímý výpočet je dán jako násobný integrál přes plochu tvaru R {\displaystyle R}. ve vzdálenosti ρ {\displaystyle \rho } od libovolné osy O {\displaystyle O} .

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} .

V nejjednodušší podobě je polární druhý moment plochy součtem dvou rovinných druhých momentů plochy, I x {\displaystyle I_{x}} a I y {\displaystyle I_{y}}. . Pomocí Pythagorovy věty se vzdálenost od osy O {\displaystyle O} , ρ {\displaystyle \rho } , lze rozdělit na složky x {\displaystyle x} a y {\displaystyle y} a změnu plochy d A {\displaystyle dA}. , rozdělenou na složky x {\displaystyle x} a y {\displaystyle y}, d x {\displaystyle dx} a d y {\displaystyle dy} .

Jsou dány dva vzorce pro rovinné druhé momenty plochy:

I x = ∬ R x 2 d x d y {\displaystyle I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy} a I y = ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy}

Vztah k polárnímu druhému momentu plochy lze znázornit takto:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA}

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy}

J O = ∬ R x 2 d x d y + ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy}

∴ J = I x + I y {\displaystyle \tudíž J=I_{x}+I_{y}}

V podstatě platí, že s rostoucí velikostí polárního druhého momentu plochy (tj. velkým tvarem průřezu předmětu) bude k vyvolání torzní deformace předmětu zapotřebí větší točivý moment. Je však třeba poznamenat, že to nemá žádný vliv na torzní tuhost, kterou předmětu poskytují materiály, z nichž je vyroben; polární druhý moment plochy je prostě tuhost, kterou předmětu poskytuje pouze jeho tvar. Torzní tuhost daná vlastnostmi materiálu je známá jako modul pružnosti ve smyku G {\displaystyle G} . Spojením těchto dvou složek tuhosti lze vypočítat úhel zkroucení nosníku θ {\displaystyle \theta }. pomocí:

θ = T l J G {\displaystyle \theta ={\frac {Tl}{JG}}}}

Kde T {\displaystyle T} je působící moment a l {\displaystyle l} je délka nosníku. Jak je patrné, větší krouticí momenty a délky nosníku vedou k větším úhlovým výchylkám, přičemž vyšší hodnoty polárního druhého momentu plochy, J {\displaystyle J}, jsou vyšší. a modulu pružnosti materiálu ve smyku G {\displaystyle G}. , snižuje potenciál úhlových výchylek.

Otázky a odpovědi

Otázka: Co je ve fyzice moment setrvačnosti?

Otázka: Co znamená polární druhý moment plochy v technice?

Otázka: Jak se vypočítá polární druhý moment plochy?

Hledání podle dopisu