Zákon velkých čísel

Autor: Leandro Alegsa

07-12-2021

Zákon velkých čísel (LLN) je věta ze statistiky. Uvažujme nějaký proces, ve kterém se vyskytují náhodné výsledky. Například náhodná veličina je opakovaně pozorována. Pak průměr pozorovaných hodnot bude z dlouhodobého hlediska stabilní. To znamená, že v dlouhém období se bude průměr pozorovaných hodnot stále více blížit očekávané hodnotě.

Při hodu kostkou jsou možnými výsledky čísla 1, 2, 3, 4, 5 a 6. Všechny jsou stejně pravděpodobné. Populační průměr (neboli "očekávaná hodnota") výsledků je:

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3.5.

Následující graf ukazuje výsledky experimentu s hody kostkou. V tomto experimentu je vidět, že průměr hodů kostkou zpočátku divoce kolísá. Jak předpovídá LLN, průměr se ustálí kolem očekávané hodnoty 3,5, jakmile se počet pozorování zvětší.

A demonstration of the Law of Large Numbers using die rolls

Historie

Jacob Bernoulli poprvé popsal LLN. Podle něj byla tak jednoduchá, že i ten nejhloupější člověk instinktivně ví, že je pravdivá. Přesto mu trvalo více než 20 let, než vypracoval dobrý matematický důkaz. Jakmile ho našel, publikoval důkaz v knize Ars Conjectandi (Umění konstruovat) v roce 1713. Důkaz nazval "zlatá věta". Ta se stala obecně známou jako "Bernoulliho věta" (nezaměňovat se stejnojmenným zákonem ve fyzice). V roce 1835 ji S. D.Poisson dále popsal pod názvem "La loi des grands nombres" (Zákon velkých čísel). Poté byl znám pod oběma názvy, ale nejčastěji se používá "zákon velkých čísel".

Ke zlepšení zákona přispěli i další matematici. Mezi ně patřili například Čebišev, Markov, Borel, Cantelli a Kolmogorov. Po těchto studiích nyní existují dvě různé podoby zákona: Jedna se nazývá "slabý" zákon a druhá "silný" zákon. Tyto formy nepopisují různé zákony. Mají různé způsoby popisu konvergence pozorované nebo měřené pravděpodobnosti ke skutečné pravděpodobnosti. Silná forma zákona implikuje slabou.

Otázky a odpovědi

Otázka: Co je to zákon velkých čísel?

Odpověď: Zákon velkých čísel je statistická věta, která říká, že pokud je náhodný proces opakovaně pozorován, pak průměr pozorovaných hodnot bude dlouhodobě stabilní.

Otázka: Co znamená zákon velkých čísel?

Odpověď: Zákon velkých čísel znamená, že s rostoucím počtem pozorování se bude průměr pozorovaných hodnot stále více blížit očekávané hodnotě.

Otázka: Co je to očekávaná hodnota?

Odpověď: Očekávaná hodnota je populační průměr výsledků náhodného procesu.

Otázka: Jaká je očekávaná hodnota hodu kostkou?

Odpověď: Očekávaná hodnota hodu kostkou je součet možných výsledků dělený počtem výsledků: (1+2+3+4+5+6)/6=3,5. Očekávaná hodnota hodu kostkou je součet možných výsledků dělený počtem výsledků.

Otázka: Co ukazuje graf v textu v souvislosti se zákonem velkých čísel?

Odpověď: Z grafu je patrné, že průměr hodů kostkou zpočátku divoce kolísá, ale jak předpovídá zákon velkých čísel, s rostoucím počtem pozorování se průměr ustálí kolem očekávané hodnoty 3,5. V grafu je vidět, že průměr hodů kostkou se zpočátku mění.

Otázka: Jak se zákon velkých čísel uplatňuje při hodu kostkou?

Odpověď: Zákon velkých čísel platí pro házení kostkou, protože s rostoucím počtem hodů se průměr hodů bude stále více přibližovat očekávané hodnotě 3,5. To znamená, že průměr hodů se bude stále více blížit očekávané hodnotě 3,5.

Otázka: Proč je zákon velkých čísel ve statistice důležitý?

Odpověď: Zákon velkých čísel je ve statistice důležitý, protože poskytuje teoretický základ pro myšlenku, že data mají tendenci se průměrovat při velkém počtu pozorování. Je základem mnoha statistických metod, jako jsou intervaly spolehlivosti a testování hypotéz.