Gama funkce

Vlastnosti

Konkrétní hodnoty

Některé konkrétní hodnoty funkce gama jsou:

Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2,363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3,544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1,772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0,88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1,32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3,32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 2.363271801207\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\aprox -3,544907701811\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\aprox 1.772453850905\\\Gamma (1)&=0!&=1\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 0.88622692545\\Gamma (2)&=1!&=1\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\cca 1,32934038818\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 3,32335097045\\\Gamma (4)&=3!&=6\\{array}}}

Funkce pí

Gauss zavedl funkci pí. Jedná se o jiný způsob označení funkce gama. Z hlediska funkce gama je funkce pí následující

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t z + 1 d t t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}},}

aby

Π ( n ) = n ! , {\displaystyle \Pi (n)=n!\,,}

pro každé nezáporné celé číslo n.

Aplikace

Analytická teorie čísel

Funkce gama se používá ke studiu Riemannovy zeta funkce. Vlastností Riemannovy zeta funkce je její funkční rovnice:

Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}. }

Bernhard Riemann zjistil vztah mezi těmito dvěma funkcemi. Bylo to v článku "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("O počtu prvočísel menších než dané množství") z roku 1859.

ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t . {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}. }