Konstantní funkce

Základní vlastnosti

Formálně má konstantní funkce f(x):R→R tvar f ( x ) = c {\displayystyle f(x)=c} . Obvykle píšeme y ( x ) = c {\displaystyle y(x)=c} nebo jen y = c {\displaystyle y=c} .

• Funkce y=c má 2 proměnné x a у a 1 konstantu c. (V tomto tvaru funkce nevidíme x, ale je tam.)

• Konstanta c je reálné číslo. Před prací s lineární funkcí nahradíme c skutečným číslem.
• Doménou nebo vstupem y=c je R. Vstupem tedy může být libovolné reálné číslo x. Výstupem je však vždy hodnota c.
• Rozsah y=c je také R. Protože však výstupem je vždy hodnota c, je kódovým oborem právě c.

Příklad: Funkce y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4} nebo jen y = 4 {\displaystyle y=4}je specifická konstantní funkce, kde výstupní hodnota je c = 4 {\displaystyle c=4} . Doménou jsou všechna reálná čísla ℝ. Kodoménou je právě {4}. Konkrétně y(0)=4, y(-2,7)=4, y(π)=4,..... Bez ohledu na to, jaká hodnota x je na vstupu, výstupem je "4".

• Graf konstantní funkce y = c {\displaystyle y=c} je vodorovná přímka v rovině, která prochází bodem ( 0 , c ) {\displaystyle (0,c)} .
• Je-li c≠0, je konstantní funkce y=c polynomem v jedné proměnné x stupně nula.

• Průsečíkem y této funkce je bod (0,c).
• Tato funkce nemá x-intercept. To znamená, že nemá kořen ani nulu. Nikdy neprotíná osu x.

• Pokud c=0, pak máme y=0. Jedná se o nulový polynom neboli identicky nulovou funkci. Každé reálné číslo x je kořenem. Grafem y=0 je osa x v rovině.
• Konstantní funkce je sudá funkce, takže osa y je pro každou konstantní funkci osou symetrie.

Derivace konstantní funkce

V kontextu, ve kterém je definována, měří derivace funkce rychlost změny hodnot funkce (výstupu) vzhledem ke změně vstupních hodnot. Konstantní funkce se nemění, takže její derivace je rovna 0. To se často zapisuje:   ( c ) ′ = 0 {\displaystyle (c)'=0}  

Příklad: y ( x ) = - 2 {\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}}je konstantní funkce. Derivace y je identicky nulová funkce y ′ ( x ) = ( - 2 ) ′ = 0 {\displaystyle y'(x)=(-{\sqrt {2}})'=0}  

Platí to i naopak. To znamená, že pokud je derivace funkce všude nulová, pak je funkce konstantní.

Matematicky zapíšeme tyto dva výroky:

y ( x ) = c ⇔ y ′ ( x ) = 0 , ∀ x ∈ R {\displaystyle y(x)=c\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,y'(x)=0\,,\,\,\forall x\in \mathbb {R} }

Zobecnění

Funkce f : A → B je konstantní funkce, jestliže f(a) = f(b) pro každé a a b v A.

Příklady

Příklad z reálného světa: Obchod, kde se každé zboží prodává za 1 euro. Doménou této funkce jsou položky v obchodě. Spoluoblastí je 1 euro.

Příklad: Nechť f : A → B, kde A={X,Y,Z,W} a B={1,2,3} a f(a)=3 pro každé a∈A. Pak f je konstantní funkce.

Příklad: z(x,y)=2 je konstantní funkce z A=ℝ² do B=ℝ, kde každý bod (x,y)∈ℝ² je mapován na hodnotu z=2. Grafem této konstantní funkce je vodorovná rovina (rovnoběžná s rovinou x0y) v trojrozměrném prostoru, která prochází bodem (0,0,2).

Příklad: Polární funkce ρ(φ)=2,5 je konstantní funkce, která mapuje každý úhel φ na poloměr ρ=2,5. Grafem této funkce je kružnice o poloměru 2,5 v rovině.

Další vlastnosti

Existují i další vlastnosti konstantních funkcí. Viz Konstantní funkce na anglické Wikipedii

Související stránky

• Funkce
• Polynomiální