Konjugované veličiny: komutátor polohy a hybnosti v kvantové mechanice

Historie a koncept

Fyzik Werner Heisenberg spolu s dalšími průkopníky vytvořili tzv. maticovou mechaniku, v níž byl pohyb částic popisován pomocí maticových operátorů místo klasických veličin. Upozornili, že veličiny jako hybnost (hmotnost krát rychlost, značená zde P) a poloha (značená Q) jsou v kvantové mechanice konjugované a jejich operátory obecně nesplňují komutativitu: P*Q ≠ Q*P. Z tohoto důvodu je důležité rozlišovat pořadí operací.

Matematická podoba v maticové reprezentaci

V maticové mechanice mají součiny operátorů konkrétní maticové prvky; níže jsou uvedeny dvě rovnice, které vyjadřují maticové prvky součinu operátorů (např. součin hybnosti a polohy a obráceně). Tyto vztahy se používají i při výpočtech energií a přechodů, například u elektronu v atomu vodíku.

Matice součinu hybnosti a polohy (prvky výsledné matice Y):

Y ( n , n - b ) = ∑ a p ( n , n - a ) q ( n - a , n - b ) {\displaystyle Y(n,n-b)=\sum _{a}^{}\,p(n,n-a)q(n-a,n-b)}

A matice součinu polohy a hybnosti (prvky výsledné matice Z):

Z ( n , n - b ) = ∑ a q ( n , n - a ) p ( n - a , n - b ) {\displaystyle Z(n,n-b)=\sum _{a}^{}\,q(n,n-a)p(n-a,n-b)}

Komutátor a jeho význam

Rozdíl mezi opačnými pořadími součinu operátorů se označuje jako komutátor a definuje se takto: [A,B] = AB − BA. Odhad, zda komutátor je nula nebo ne, je klíčový pro fyzikální důsledky; pokud je komutátor nenulový, pořadí měření či aplikace operátorů má fyzikální význam.

O něco později Max Born (a spolupracovníci) zdůraznil, že pro polohu a hybnost komutátor není nulový. V tradiční formě kanonálního komutačního vztahu platí:

Q ∗ P - P ∗ Q = i h 2 π {\displaystyle {Q*P-P*Q={\frac {ih}{2\pi }}}}

Tento vztah je rovnocenný často užívanému tvaru s redukovanou Planckovou konstantou ħ (čte se "h-bar"):

[Q,P] = QP − PQ = iħ I, kde ħ = h / (2π) a I je jednotkový operátor. Zde Q je operátor polohy, P operátor hybnosti, i je jednotka komplexních čísel a h je Planckova konstanta (v textu původně vyjádřená jako h/(2π)).

Reprezentace v prostoru souřadnic a explicitní tvar

V tzv. polohové reprezentaci působí operátory na vlnové funkce ψ(x) následovně:

• Qψ(x) = x ψ(x) (operátor polohy je násobení polohou)
• Pψ(x) = −iħ (d/dx) ψ(x) (operátor hybnosti je diferenciální operátor)

Počítáme-li komutátor na hladkých funkcích, dostaneme přímo [Q,P]ψ(x) = iħ ψ(x), což odpovídá vztahu [Q,P]=iħI.

Důsledky: Heisenbergův princip neurčitosti

Nenulový komutátor polohy a hybnosti vede přímo k jednoho z nejdůležitějších výsledků kvantové mechaniky — Heisenbergovu principu neurčitosti. Pro rozptyly (neurčitosti) ΔQ a ΔP v libovolném kvantovém stavu platí:

ΔQ · ΔP ≥ ħ / 2.

Tento vztah říká, že nelze současně měřit polohu a hybnost s libovolnou přesností — zvýšení přesnosti jedné veličiny nutně zvyšuje neurčitost druhé.

Souvislosti mimo kvantovou mechaniku

Konjugované veličiny a jejich komutační vlastnosti mají analogii v klasické mechanice ve formě Poissonovy závorky; přechod od klasiky ke kvantům se často provádí pravidlem, že Poissonovu závorku nahradí komutátor dělený iħ. Konjugované páry se proto objevují v celé fyzice, v chemii a v dalších oborech (např. v teorii signálů nebo statistické mechanice).

Stručně řečeno: konjugované veličiny v kvantové mechanice jsou páry operátorů, které obecně nekomutují; u polohy a hybnosti to vede ke známému kanonickému vztahu [Q,P]=iħ, ze kterého vyplývá princip neurčitosti a mnoho dalších klíčových vlastností kvantových systémů.