Interval spolehlivosti

Termín důvěra má ve statistice podobný význam jako v běžném použití. V běžném použití se tvrzení o 95% spolehlivosti něčeho obvykle považuje za označení praktické jistoty. Ve statistice tvrzení o 95% spolehlivosti jednoduše znamená, že výzkumník viděl jeden možný interval z velkého počtu možných, z nichž devatenáct z dvaceti intervalů obsahuje skutečnou hodnotu parametru.

Stroj plní kelímky margarínem. Pro tento příklad je stroj nastaven tak, aby obsah kelímků byl 250 g margarínu. Protože stroj nemůže naplnit každý kelímek přesně 250 g, obsah přidaný do jednotlivých kelímků vykazuje určitou variabilitu a je považován za náhodnou veličinu X. Předpokládá se, že tato variabilita je normálně rozdělena kolem požadovaného průměru 250 g se směrodatnou odchylkou 2,5 g. Aby se zjistilo, zda je stroj dostatečně kalibrován, vybere se náhodně vzorek n = 25 kelímků margarínu a kelímky se zváží. Hmotnosti margarínu jsou X1, ..., X25, náhodný vzorek z X.

Abychom si udělali představu o očekávané hodnotě μ, stačí uvést její odhad. Vhodným odhadem je výběrový průměr:

μ ^ = X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n X i . {\displaystyle {\hat {\mu }}={\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}. }

Ve vzorku jsou uvedeny skutečné váhy x1, ...,x25 s průměrem:

x¯ = 1 25 ∑ i = 1 25 x i = 250,2 gramů . {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{25}}\sum _{i=1}^{25}x_{i}=250,2\,{\text{gramů}}. }

Pokud bychom vzali další vzorek 25 šálků, mohli bychom snadno očekávat hodnoty jako 250,4 nebo 251,1 gramů. Průměrná hodnota vzorku 280 gramů by však byla velmi vzácná, pokud by se průměrný obsah šálků skutečně blížil 250 g. Kolem pozorované hodnoty 250,2 výběrového průměru existuje celý interval, v němž, pokud by celopopulační průměr skutečně nabýval hodnoty v tomto rozmezí, by pozorované údaje nebyly považovány za nijak zvlášť neobvyklé. Takový interval se nazývá interval spolehlivosti pro parametr μ. Jak takový interval vypočítáme? Koncové body intervalu je třeba vypočítat ze vzorku, takže se jedná o statistiky, funkce vzorku X1, ..., X25, a tedy o náhodné veličiny samotné.

V našem případě můžeme koncové body určit tak, že uvažujeme, že výběrový průměr X z normálně rozděleného vzorku je také normálně rozdělený, se stejným očekáváním μ, ale se standardní chybou σ/√n = 0,5 (gramů). Standardizací získáme náhodnou veličinu

Z = X¯ - μ σ / n = X¯ - μ 0,5 {\displaystyle Z={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}={\frac {{\bar {X}}-\mu }{0,5}}})

závislé na odhadovaném parametru μ, ale se standardním normálním rozdělením nezávislým na parametru μ. Lze tedy nalézt čísla -z a z, nezávislá na μ, kde Z leží mezi nimi s pravděpodobností 1 - α, což je míra toho, jak jistí chceme být. Vezmeme 1 - α = 0,95. Máme tedy:

P ( - z ≤ Z ≤ z ) = 1 - α = 0,95. {\displaystyle P(-z\leq Z\leq z)=1-\alfa =0,95.\,}

Číslo z vyplývá z kumulativní distribuční funkce:

Φ ( z ) = P ( Z ≤ z ) = 1 - α 2 = 0,975 , z = Φ - 1 ( Φ ( z ) ) = Φ - 1 ( 0,975 ) = 1.96 , {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (z)&=P(Z\leq z)=1-{\tfrac {\alpha }{2}}=0,975,\\[6pt]z&=\Phi ^{-1}(\Phi (z))=\Phi ^{-1}(0,975)=1,96,\end{aligned}}}}.

a dostaneme:

0,95 = 1 - α = P ( - z ≤ Z ≤ z ) = P ( - 1,96 ≤ X¯ - μ σ / n ≤ 1,96 ) = P ( X¯ - 1,96 σ n ≤ μ ≤ X¯ + 1.96 σ n ) = P ( X¯ - 1,96 × 0,5 ≤ μ ≤ X¯ + 1,96 × 0,5 ) = P ( X¯ - 0,98 ≤ μ ≤ X¯ + 0,98 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}0,95&=1-\alfa =P(-z\leq Z\leq z)=P\left(-1,96\leq {\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\leq 1.96\right)\\[6pt]&=P\left({\bar {X}}-1.96{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+1.96{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}pravá)\\[6pt]&=P\levá({\bar {X}}-1,96\krát 0,5\leq \mu \leq {\bar {X}}+1.96\krát 0,5\vpravo)\\[6pt]&=P\left({\bar {X}}-0,98\leq \mu \leq {\bar {X}}+0,98\vpravo).\end{aligned}}}

To lze interpretovat takto: s pravděpodobností 0,95 nalezneme interval spolehlivosti, ve kterém se setkáme s parametrem μ mezi stochastickými koncovými body.

X - 0 . 98 {\displaystyle {\bar {X}}-0{.}98\,}

a

X ¯ + 0.98. {\displaystyle {\bar {X}}+0.98.\,}

To neznamená, že ve vypočteném intervalu je pravděpodobnost splnění parametru μ 0,95. Při každém opakování měření bude zjištěna jiná hodnota střední hodnoty X vzorku. V 95 % případů bude μ mezi koncovými body vypočtenými z tohoto průměru, ale v 5 % případů tomu tak nebude. Skutečný interval spolehlivosti se vypočítá dosazením naměřených vah do vzorce. Náš interval spolehlivosti 0,95 má tvar:

( x - 0,98 ; x - + 0,98 ) = ( 250,2 - 0,98 ; 250,2 + 0,98 ) = ( 249,22 ; 251,18 ) . {\displaystyle ({\bar {x}}-0.98;{\bar {x}}+0.98)=(250.2-0.98;250.2+0.98)=(249.22;251.18).\,}

Protože požadovaná hodnota 250 μ je uvnitř výsledného intervalu spolehlivosti, není důvod se domnívat, že stroj je špatně kalibrován.

Vypočtený interval má pevné koncové body, přičemž μ může být mezi nimi (nebo také ne). Tato událost má tedy pravděpodobnost buď 0, nebo 1. Nemůžeme říci: "s pravděpodobností (1 - α) leží parametr μ v intervalu spolehlivosti". Víme pouze, že opakováním ve 100(1 - α) % případů bude μ ležet ve vypočteném intervalu. Ve 100α % případů však nikoliv. A bohužel nevíme, ve kterých z případů se tak stane. Proto říkáme: "při hladině spolehlivosti 100(1 - α) % leží μ v intervalu spolehlivosti. "

Obrázek vpravo ukazuje 50 realizací intervalu spolehlivosti pro daný populační průměr μ. Pokud náhodně vybereme jednu realizaci, je pravděpodobnost 95 %, že jsme nakonec vybrali interval, který obsahuje parametr; můžeme však mít smůlu a vybrat špatný interval. To se nikdy nedozvíme; zůstáváme u našeho intervalu.