Druhá odmocnina z 2

Autor: Leandro Alegsa Datum vytvoření: 18. června 2022

Druhá odmocnina čísla 2 neboli (1/2)mocnina čísla 2, v matematice zapisovaná jako √2 nebo $2 $ ^1⁄₂ , je kladné iracionální číslo, které se po vynásobení sebou samým rovná číslu 2. Přesněji řečeno se nazývá hlavní odmocnina z 2, aby se odlišila od záporné verze sebe sama, kde to platí také.

Geometricky je odmocnina ze 2 délkou úhlopříčky přes čtverec se stranami o délce jedna; lze ji zjistit pomocí Pythagorovy věty.

Druhá odmocnina ze 2 je rovna délce přepony pravoúhlého trojúhelníku s rameny délky 1.

Důkaz, že odmocnina z 2 není racionální

Číslo 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ není racionální. Zde je důkaz.

Předpokládejte, že 2 {\displayystyle {\sqrt {2}} ${\sqrt {2}}$ je racionální. Existují tedy nějaká čísla a , b {\displaystyle a,b} $a,b$ taková, že a / b = 2 {\displaystyle a/b={\sqrt {2}}} $a/b={\sqrt {2}}$ .
Můžeme zvolit a a b tak, aby a nebo b bylo liché. Pokud by a i b byly sudé, pak bychom mohli zlomek zjednodušit (například místo zápisu 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}}). ${\frac {2}{4}}$ bychom mohli místo toho napsat 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ${\frac {1}{2}}$ ).
Pokud obě strany rovnice odmocníme, dostaneme a² / b² = 2 a a² = 2 b² .
Pravá strana je 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}} $2b^{2}$ . Toto číslo je sudé. Levá strana tedy musí být také sudá. Takže a 2 {\displaystyle a^{2}} $a^{2}$ je sudá. Pokud je liché číslo odmocněno, pak výsledkem bude liché číslo. A pokud by se čtvercovalo sudé číslo, bylo by výsledkem také sudé číslo. Takže a {\displaystyle a} je sudé.
Protože a je sudé, lze ho zapsat jako: a = 2 k {\displaystyle a=2k} $a=2k$ .
Použije se rovnice z kroku 3. Dostaneme 2b² = (2k)²
Lze použít exponenciální pravidlo (viz článek) - výsledek je 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}. $2b^{2}=4k^{2}$ .
Obě strany jsou děleny 2. Takže b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}}. $b^{2}=2k^{2}$ . To znamená, že b {\displaystyle b} $b$ je sudé.
V kroku 2 jsme řekli, že a je liché nebo b je liché. V kroku 4 však bylo řečeno, že a je sudé, a v kroku 7 bylo řečeno, že b je sudé. Je-li předpoklad, který jsme vyslovili v kroku 1, pravdivý, pak všechny tyto ostatní věci musí být pravdivé, ale protože se navzájem neshodují, nemohou být všechny pravdivé; to znamená, že náš předpoklad není pravdivý.

Není pravda, že 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ je racionální číslo. Takže 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ je iracionální.