Čtvercové číslo

Čtvercové číslo, někdy také nazývané dokonalý čtverec, je výsledkem násobení celého čísla sebou samým. 1, 4, 9, 16 a 25 je prvních pět čtvercových čísel. Ve vzorci se čtverec čísla n označuje $n 2$ (exponenciální), obvykle se vyslovuje jako "n na druhou". Název čtvercové číslo pochází z názvu tvaru; viz níže.

Čtvercová čísla jsou nezáporná. Jiný způsob, jak říci, že (nezáporné) číslo je čtvercové číslo, je, že jeho odmocnina je opět celé číslo. Například √9 = 3, takže 9 je čtvercové číslo.

Příklady

Čtverce (sekvence A000290 v OEIS) menší než 70² jsou:

0² =0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² =100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

51² = 2601

52² = 2704

53² = 2809

54² = 2916

55² = 3025

56² = 3136

57² = 3249

58² = 3364

59² = 3481

60² = 3600

61² = 3721

62² = 3844

63² = 3969

64² = 4096

65² = 4225

66² = 4356

67² = 4489

68² = 4624

69² = 4761

Čtvercových čísel je nekonečně mnoho, stejně jako je nekonečně mnoho přirozených čísel.

Vlastnosti

Číslo m je čtvercové číslo tehdy a jen tehdy, když lze z m stejných (menších) čtverců sestavit čtverec:

m = 1² = 1
m = 2² = 4
m = 3² = 9
m = 4² = 16
m = 5² = 25
Poznámka: Bílé mezery mezi čtverci slouží pouze pro lepší vizuální vnímání. Mezi skutečnými čtverci nesmí být žádné mezery.

Čtverec o délce strany n má plochu $n 2$ .

Výraz pro n-té čtvercové číslo je n² . To je také rovno součtu prvních n lichých čísel, jak je vidět na výše uvedených obrázcích, kde čtverec vznikne z předchozího přičtením lichého počtu bodů (znázorněno purpurově). Vzorec je následující:

n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1). } $n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).$

Tak například $52 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.$

Čtvercové číslo může končit pouze číslicemi 0, 1, 4, 6, 9 nebo 25 v základu 10, a to takto:

Pokud je poslední číslicí čísla 0, jeho čtverec končí sudým počtem nul (tedy alespoň 00) a číslice předcházející koncovým nulám musí rovněž tvořit čtverec.
Pokud je poslední číslice čísla 1 nebo 9, jeho čtverec končí jedničkou a číslo vytvořené předchozími číslicemi musí být dělitelné čtyřmi.
Pokud je poslední číslice čísla 2 nebo 8, jeho čtverec končí číslicí 4 a předchozí číslice musí být sudá.
Pokud je poslední číslice čísla 3 nebo 7, končí jeho čtverec číslem 9 a číslo tvořené předchozími číslicemi musí být dělitelné čtyřmi.
Pokud je poslední číslice čísla 4 nebo 6, jeho čtverec končí číslicí 6 a předchozí číslice musí být lichá.
Pokud je poslední číslicí čísla 5, jeho čtverec končí číslicí 25 a předcházející číslice musí být 0, 2, 06 nebo 56.

Čtvercové číslo nemůže být dokonalé číslo.

Všechny čtvrté mocniny, šesté mocniny, osmé mocniny atd. jsou dokonalé čtverce.

Zvláštní případy

Pokud je číslo ve tvaru m5, kde m představuje předchozí číslice, jeho čtverec je n25, kde $n = m \times (m + 1)$ a představuje číslice před 25. Například čtverec čísla 65 lze vypočítat pomocí $n = 6 \times (6 + 1) = 42,$ takže čtverec je roven 4225.
Pokud je číslo ve tvaru m0, kde m představuje předchozí číslice, jeho čtverec je n00, kde $n = m 2$ . Například čtverec čísla 70 je 4900.
Má-li číslo dvě číslice a je ve tvaru 5m, kde m představuje jednotkovou číslici, je jeho čtverec AABB, kde $AA = 25 + m$ a $BB = m 2$ . Příklad: Pro výpočet čtverce čísla 57 platí: 25 + 7 = 32 a 7² = 49, což znamená 57² = 3249.

Lichá a sudá čtvercová čísla

Čtverce sudých čísel jsou sudé (a ve skutečnosti dělitelné 4), protože $(2n) 2 = 4n 2$ .

Čtverce lichých čísel jsou liché, protože $(2n + 1) 2 = 4(n 2 + n) + 1.$

Z toho vyplývá, že odmocniny sudých odmocnin jsou sudé a odmocniny lichých odmocnin jsou liché.

Protože všechna sudá čtvercová čísla jsou dělitelná 4, nejsou sudá čísla tvaru $4n + 2$ čtvercovými čísly.

Protože všechna lichá čtvercová čísla mají tvar $4n + 1,$ lichá čísla tvaru $4n + 3$ nejsou čtvercová čísla.

Čtverce lichých čísel mají tvar $8n + 1,$ protože $(2n + 1) 2 = 4n(n + 1) + 1$ a $n (n + 1)$ je sudé číslo.