Čtvercové číslo

Čtverce (sekvence A000290 v OEIS) menší než 70² jsou:

Čtvercových čísel je nekonečně mnoho, stejně jako je nekonečně mnoho přirozených čísel.

Číslo m je čtvercové číslo tehdy a jen tehdy, když lze z m stejných (menších) čtverců sestavit čtverec:

Čtverec o délce strany n má plochu n² .

Výraz pro n-té čtvercové číslo je n² . To je také rovno součtu prvních n lichých čísel, jak je vidět na výše uvedených obrázcích, kde čtverec vznikne z předchozího přičtením lichého počtu bodů (znázorněno purpurově). Vzorec je následující:

n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1). }

Tak například 5² =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Čtvercové číslo může končit pouze číslicemi 0, 1, 4, 6, 9 nebo 25 v základu 10, a to takto:

1. Pokud je poslední číslicí čísla 0, jeho čtverec končí sudým počtem nul (tedy alespoň 00) a číslice předcházející koncovým nulám musí rovněž tvořit čtverec.
2. Pokud je poslední číslice čísla 1 nebo 9, jeho čtverec končí jedničkou a číslo vytvořené předchozími číslicemi musí být dělitelné čtyřmi.
3. Pokud je poslední číslice čísla 2 nebo 8, jeho čtverec končí číslicí 4 a předchozí číslice musí být sudá.
4. Pokud je poslední číslice čísla 3 nebo 7, končí jeho čtverec číslem 9 a číslo tvořené předchozími číslicemi musí být dělitelné čtyřmi.
5. Pokud je poslední číslice čísla 4 nebo 6, jeho čtverec končí číslicí 6 a předchozí číslice musí být lichá.
6. Pokud je poslední číslicí čísla 5, jeho čtverec končí číslicí 25 a předcházející číslice musí být 0, 2, 06 nebo 56.

Čtvercové číslo nemůže být dokonalé číslo.

Všechny čtvrté mocniny, šesté mocniny, osmé mocniny atd. jsou dokonalé čtverce.

• Pokud je číslo ve tvaru m5, kde m představuje předchozí číslice, jeho čtverec je n25, kde n = m × (m + 1) a představuje číslice před 25. Například čtverec čísla 65 lze vypočítat pomocí n = 6 × (6 + 1) = 42, takže čtverec je roven 4225.
• Pokud je číslo ve tvaru m0, kde m představuje předchozí číslice, jeho čtverec je n00, kde n = m² . Například čtverec čísla 70 je 4900.
• Má-li číslo dvě číslice a je ve tvaru 5m, kde m představuje jednotkovou číslici, je jeho čtverec AABB, kde AA = 25 + m a BB = m² . Příklad: Pro výpočet čtverce čísla 57 platí: 25 + 7 = 32 a 7² = 49, což znamená 57² = 3249.

Čtverce sudých čísel jsou sudé (a ve skutečnosti dělitelné 4), protože (2n)² = 4n² .

Čtverce lichých čísel jsou liché, protože (2n + 1)² = 4(n² + n) + 1.

Z toho vyplývá, že odmocniny sudých odmocnin jsou sudé a odmocniny lichých odmocnin jsou liché.

Protože všechna sudá čtvercová čísla jsou dělitelná 4, nejsou sudá čísla tvaru 4n + 2 čtvercovými čísly.

Protože všechna lichá čtvercová čísla mají tvar 4n + 1, lichá čísla tvaru 4n + 3 nejsou čtvercová čísla.

Čtverce lichých čísel mají tvar 8n + 1, protože (2n + 1)² = 4n(n + 1) + 1 a n(n + 1) je sudé číslo.