Poincarého věta
Poincarého domněnka je otázka týkající se sfér v matematice. Je pojmenována po francouzském matematikovi a fyzikovi Henri Poincarém, který ji v roce 1904 formuloval.
Koule (nazývaná také 2-koule, protože se jedná o dvourozměrnou plochu, ačkoli ji obvykle vnímáme jako plochu uvnitř trojrozměrného prostoru) má tu vlastnost, že jakoukoli smyčku na ní lze smrštit do bodu (pokud je kolem koule omotána gumička, je možné ji smrštit do bodu). Matematici říkají, že dvousféra je jednoduše spojená. Jiné prostory tuto vlastnost nemají, například kobliha: gumičku, která jednou obtočí celou koblihu, nelze posunout dolů do bodu, aniž by opustila povrch.
Matematici věděli, že tato vlastnost je jedinečná pro 2-sféru v tom smyslu, že jakýkoli jiný jednoduše spojený prostor, který nemá hrany a je dostatečně malý (v matematickém pojetí je kompaktní), je ve skutečnosti 2-sféra. To však již neplatí, pokud odstraníme myšlenku malosti, protože nekonečně velká rovina je také jednoduše spojená. Také pravidelný disk (kružnice a její vnitřek) je jednoduše spojitý, ale má hranu (ohraničující kružnici).
Domněnka se ptá, zda totéž platí i pro trojkouli, což je objekt, který přirozeně žije ve čtyřech rozměrech. Tato otázka motivovala velkou část moderní matematiky, zejména v oblasti topologie. Otázku nakonec v roce 2002 vyřešil ruský matematik Grigorij Perelman metodami z geometrie a ukázal, že je skutečně pravdivá. Za svou práci obdržel Fieldsovu medaili a Cenu tisíciletí v hodnotě 1 milionu dolarů, přičemž obě tyto ceny odmítl.
Poincarého domněnku lze rozšířit i na vyšší dimenze: jedná se o zobecněnou Poincarého domněnku. Překvapivě bylo snazší dokázat tento fakt pro sféry vyšších rozměrů: v roce 1960 Smale dokázal, že je pravdivý pro 5-sféru, 6-sféru a vyšší. V roce 1982 Freedman dokázal, že to platí i pro 4-sféru, za což mu byla udělena Fieldsova medaile.
Otázky a odpovědi
Otázka: Co je to Poincarého domněnka?
Odpověď: Poincarého domněnka je otázka týkající se sfér v matematice, pojmenovaná po Henri Poincarém, která se ptá, zda určité vlastnosti 2-sféry platí i pro 3-sféru.
Otázka: Jakou vlastnost má 2-sféra?
Odpověď: Dvousféra má tu vlastnost, že jakoukoli smyčku na ní lze smrštit do bodu.
Otázka: Je tato vlastnost pro 2-kouli jedinečná?
Odpověď: Tato vlastnost je pro 2-sféru jedinečná, pokud jde o malé prostory, které nemají hrany. Nekonečně velká rovina a pravidelný disk (kruh a jeho vnitřek) jsou však oba jednoduše spojeny, ale mají hrany.
Otázka: Kdo dokázal, že to platí pro koule vyšších rozměrů?
Odpověď: V roce 1960 Smale dokázal, že to platí pro pětirozměrné, šestirázové a vyšší koule, a v roce 1982 Freedman dokázal, že to platí i pro čtyřrozměrné koule.
Otázka: Kdo vyřešil Poincarého domněnku?
Odpověď: Poincarého domněnku vyřešil ruský matematik Grigorij Perelman, který pomocí metod z geometrie ukázal, že je skutečně pravdivá.
Otázka: Jaká ocenění Perelman za svou práci získal?
Odpověď: Perelman za svou práci na řešení Poincarého domněnky obdržel Fieldsovu medaili a Cenu tisíciletí v hodnotě 1 milionu dolarů; obě ocenění však odmítl.
