Sinusové pravidlo neboli sinusový zákon je matematická věta. Říká, že pokud máme trojúhelník jako na obrázku, platí níže uvedená rovnice.

a sin A = b sin B = c sin C = D {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}},=\,{\frac {b}{\sin B}},=\,{\frac {c}{\sin C}},=\,D\! } {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,D\!}

Toto je další verze, která je také pravdivá.

sin A a = sin B b = sin C c {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\! } {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\!}

D v uvedeném tvaru je dvojnásobek poloměru kružnice opsané trojúhelníku, tedy D = 2R, kde R je poloměr kružnice opsané (někdy se uvádí také tvar {{\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}} = {\displaystyle {\frac {1}{2R}}}}).

Co sinusové pravidlo říká a kde se používá

Sinusové pravidlo umožňuje vyřešit trojúhelník, pokud jsou známy:

  • dva úhly a libovolná strana (úhly →Â strany),
  • nebo dvě strany a úhel, který není úhlem mezi nimi (tzv. SSA situace).
Používá se v triangulaci při geodézii, navigaci, mapování a při řešení obecnějších trigonometrických úloh.

Krátký důkaz (nápad)

Nejjednodušší odvození vychází z kružnice opsané. V trojúhelníku ABC jsou úhly A, B, C a strany a = BC, b = AC, c = AB. Pokud je R poloměr kružnice opsané, platí podle věty o středu úsečky a pravidla pro sínus v jednotkové kružnici:

  • a = 2R sin A,
  • b = 2R sin B,
  • c = 2R sin C.
Dělením jednotlivých rovnic dostaneme právě vztahy a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, resp. sin A/a = sin B/b = sin C/c = 1/(2R).

Nejednoznačný případ (SSA)

Při známých dvou stranách a jednom z úhlů, kde úhel neleží mezi danými stranami (tzn. situace SSA), může nastat několik možností:

  • Žádné řešení: pokud v rovnici sin B = (b sin A)/a vyjde hodnota větší než 1.
  • Jedno řešení: pokud (b sin A)/a = 1 (dostaneme pravý úhel) nebo pokud zadané hodnoty jednoznačně určují trojúhelník.
  • Dvě řešení (ambiguita): pokud 0 < (b sin A)/a < 1 a obdržíme dvě různé velikosti úhlu B – B1 = arcsin(x) a B2 = 180° − B1. Obě mohou vést k platným trojúhelníkům jen pokud součet A + B2 < 180° (tj. C > 0°).
Typicky k ambiguitě dochází, když je zadaný úhel ostrý a protilehlá strana je kratší než druhá známá strana.

Numerické poznámky a doporučení

  • Vypočet úhlu pomocí arcsin může být citlivý na zaokrouhlovací chyby, zvláště když je argument blízko 0 nebo 1. Doporučuje se testovat, zda je vypočtená hodnota v povoleném rozsahu [−1,1] a ošetřit hraniční případy.
  • Pro stabilnější řešení trojúhelníku v některých situacích (zejména jestliže jsou známy dvě strany a úhel mezi nimi), je výhodné použít zákon kosinusů, který se vyhne ambiguitě SSA.
  • Při numerických implementacích používejte funkce jako atan2 nebo robustní knihovny trigonometrie pro správné určení kvadrantu a snížení chyb.

Příklad (SSA — ambiguita)

Mějme A = 30°, a = 10, b = 12. Chceme najít úhel B.

  • Vypočteme x = (b sin A)/a = 12·sin30°/10 = 12·0.5/10 = 0.6.
  • Proto B1 = arcsin(0.6) ≈ 36.87° a B2 = 180° − 36.87° ≈ 143.13°.
  • Zkontrolujeme, zda A + B2 < 180°: 30° + 143.13° = 173.13° < 180°, takže oba B1 i B2 dávají platné trojúhelníky (dva řešení).

Souhrn

Sinusové pravidlo je jednoduchý a silný nástroj pro řešení trojúhelníků. Vyjadřuje proporci mezi délkami stran a sinusy protilehlých úhlů a je úzce spjato s kružnicí opsanou (a/sin A = 2R). Při používání je však třeba dát pozor na nejednoznačný případ SSA a na numerické hranice při výpočtu inverzních goniometrických funkcí.