Sinusové pravidlo (sinusový zákon): definice, vzorec a použití

Sinusové pravidlo: přehled definice, vzorce a použití v triangulaci. Naučte se řešit strany a úhly trojúhelníků, včetně nejednoznačného případu a praktických tipů.

Autor: Leandro Alegsa

15-01-2026 15:29

Sinusové pravidlo neboli sinusový zákon je matematická věta. Říká, že pokud máme trojúhelník jako na obrázku, platí níže uvedená rovnice.

a sin A = b sin B = c sin C = D {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}},=\,{\frac {b}{\sin B}},=\,{\frac {c}{\sin C}},=\,D\! } ${\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,D\!$

Toto je další verze, která je také pravdivá.

sin A a = sin B b = sin C c {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\! } ${\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\!$

D v uvedeném tvaru je dvojnásobek poloměru kružnice opsané trojúhelníku, tedy D = 2R, kde R je poloměr kružnice opsané (někdy se uvádí také tvar {{\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}} = {\displaystyle {\frac {1}{2R}}}}).

Co sinusové pravidlo říká a kde se používá

Sinusové pravidlo umožňuje vyřešit trojúhelník, pokud jsou známy:

dva úhly a libovolná strana (úhly →Â strany),
nebo dvě strany a úhel, který není úhlem mezi nimi (tzv. SSA situace).

Používá se v triangulaci při geodézii, navigaci, mapování a při řešení obecnějších trigonometrických úloh.

Krátký důkaz (nápad)

Nejjednodušší odvození vychází z kružnice opsané. V trojúhelníku ABC jsou úhly A, B, C a strany a = BC, b = AC, c = AB. Pokud je R poloměr kružnice opsané, platí podle věty o středu úsečky a pravidla pro sínus v jednotkové kružnici:

a = 2R sin A,
b = 2R sin B,
c = 2R sin C.

Dělením jednotlivých rovnic dostaneme právě vztahy a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, resp. sin A/a = sin B/b = sin C/c = 1/(2R).

Nejednoznačný případ (SSA)

Při známých dvou stranách a jednom z úhlů, kde úhel neleží mezi danými stranami (tzn. situace SSA), může nastat několik možností:

Žádné řešení: pokud v rovnici sin B = (b sin A)/a vyjde hodnota větší než 1.
Jedno řešení: pokud (b sin A)/a = 1 (dostaneme pravý úhel) nebo pokud zadané hodnoty jednoznačně určují trojúhelník.
Dvě řešení (ambiguita): pokud 0 < (b sin A)/a < 1 a obdržíme dvě různé velikosti úhlu B – B1 = arcsin(x) a B2 = 180° − B1. Obě mohou vést k platným trojúhelníkům jen pokud součet A + B2 < 180° (tj. C > 0°).

Typicky k ambiguitě dochází, když je zadaný úhel ostrý a protilehlá strana je kratší než druhá známá strana.

Numerické poznámky a doporučení

Vypočet úhlu pomocí arcsin může být citlivý na zaokrouhlovací chyby, zvláště když je argument blízko 0 nebo 1. Doporučuje se testovat, zda je vypočtená hodnota v povoleném rozsahu [−1,1] a ošetřit hraniční případy.
Pro stabilnější řešení trojúhelníku v některých situacích (zejména jestliže jsou známy dvě strany a úhel mezi nimi), je výhodné použít zákon kosinusů, který se vyhne ambiguitě SSA.
Při numerických implementacích používejte funkce jako atan2 nebo robustní knihovny trigonometrie pro správné určení kvadrantu a snížení chyb.

Příklad (SSA — ambiguita)

Mějme A = 30°, a = 10, b = 12. Chceme najít úhel B.

Vypočteme x = (b sin A)/a = 12·sin30°/10 = 12·0.5/10 = 0.6.
Proto B1 = arcsin(0.6) ≈ 36.87° a B2 = 180° − 36.87° ≈ 143.13°.
Zkontrolujeme, zda A + B2 < 180°: 30° + 143.13° = 173.13° < 180°, takže oba B1 i B2 dávají platné trojúhelníky (dva řešení).

Souhrn

Sinusové pravidlo je jednoduchý a silný nástroj pro řešení trojúhelníků. Vyjadřuje proporci mezi délkami stran a sinusy protilehlých úhlů a je úzce spjato s kružnicí opsanou (a/sin A = 2R). Při používání je však třeba dát pozor na nejednoznačný případ SSA a na numerické hranice při výpočtu inverzních goniometrických funkcí.

Trojúhelník označený písmeny potřebnými pro toto vysvětlení. A, B a C jsou úhly. a je strana naproti A . b je strana naproti B . c je strana naproti C.

Důkaz

Plochu T {\displaystyle T} $T$ libovolného trojúhelníku lze zapsat jako polovinu jeho základny krát jeho výška (počítáno od vrcholu, který není na základně). V závislosti na tom, kterou stranu zvolíme za základnu, může být plocha dána vztahem

T = 1 2 b ( c sin A ) = 1 2 c ( a sin B ) = 1 2 a ( b sin C ) . {\displaystyle T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,. } $T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,.$

Jejich vynásobením 2 / a b c {\displaystyle 2/abc} $2/abc$ získáme následující hodnoty

2 T a b c = sin A a = sin B b = sin C c . {\displaystyle {\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}},. } ${\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}\,.$

Otázky a odpovědi

Otázka: Co je to sinusový zákon?

Odpověď: Sinusový zákon, známý také jako sinusové pravidlo, je věta v matematice, která říká, že pokud máme trojúhelník jako na obrázku, pak bude platit rovnice.

Otázka: Co říká tato rovnice?

Odpověď: Tato rovnice říká, že poměr délky každé strany k hodnotě sinusu jejího protilehlého úhlu se bude rovnat.

Otázka: Jak se tato rovnice používá?

Odpověď: Sinusový zákon lze použít k nalezení zbývajících stran trojúhelníku, pokud jsou známy dva úhly a jedna strana. Lze ho také použít, když jsou známy dvě strany a jeden z úhlů, které tyto dvě strany neuzavírají.

Otázka: Co se stane v nejednoznačném případě?

Odpověď: V některých případech vzorec udává dvě možné hodnoty uzavřeného úhlu. Tomu se říká nejednoznačný případ.

Otázka: Jak je to ve srovnání s jinými trigonometrickými rovnicemi?

Odpověď: Sinusový zákon je jednou ze dvou trigonometrických rovnic, které se používají k určení délek a úhlů ve skalenových trojúhelnících. Druhou rovnicí je zákon kosinusů.

Otázka: Čemu se rovná D? Odpověď: D je rovno průměru kružnice trojúhelníku.

Vyhledávání