Základní věta aritmetiky: jedinečná faktorizace čísel a aplikace

První, kdo dokázal větu, byl Euklides. První podrobný a správný důkaz podal Carl Friedrich Gauß ve svém díle Disquisitiones Arithmeticae.

Někteří lidé si mohou myslet, že věta platí všude. Věta však neplatí v obecnějších číselných soustavách, jako jsou algebraická celá čísla. Poprvé se o tom zmínil Ernst Kummer v roce 1843 ve své práci o Fermatově poslední větě. Další informace o ní: přečtěte si článek Algebraická teorie čísel.

Důkaz se skládá ze dvou částí: nejprve ukážeme, že každé číslo lze zapsat jako součin prvočísel, a poté ukážeme, že pokud číslo podruhé zapíšeme jako součin prvočísel, pak oba seznamy prvočísel musí být stejné.

První část důkazu

Ukážeme, že pokud ne každé číslo větší než 1 lze zapsat jako součin prvočísel, dostáváme se do jakési nemožnosti. Poté tedy dojdeme k závěru, že musí platit, že každé číslo lze zapsat jako součin prvočísel.

Podívejte se, co se stane, když někdo řekne, že zná celé kladné číslo větší než 1, které nelze zapsat jako součin prvočísel. V takovém případě ho požádáme, aby uvedl všechna čísla větší než 1, která nelze zapsat jako součin prvočísel. Jedno z těchto čísel musí být nejmenší: nazvěme ho n. Toto číslo n samozřejmě nemůže být 1. Dále to nemůže být prvočíslo, protože prvočíslo je "součinem" jediného prvočísla: sebe sama. Musí to tedy být součin čísel. Tedy -

n = ab

kde a i b jsou celá kladná čísla, která jsou samozřejmě menší než n. Ale: n bylo nejmenší číslo, které nelze zapsat jako součin prvočísel. Musí tedy být možné zapsat a a b jako součin prvočísel, protože obě jsou menší než n. Pak ale součin

n = ab

lze zapsat také jako součin prvočísel. To je nemožné, protože jsme řekli, že n nelze zapsat jako součin prvočísel.

Nyní jsme ukázali nemožnost, která existuje, pokud by první část věty nebyla pravdivá. Tímto způsobem jsme nyní dokázali první část věty.

Druhá část důkazu

Nyní musíme dokázat, že existuje pouze jeden způsob, jak zapsat kladné číslo větší než 1 jako součin prvočísel.

K tomu použijeme následující lemma: jestliže prvočíslo p dělí součin ab, pak dělí a nebo dělí b (Euklidovo lemma). Nejprve nyní toto lemma dokážeme. Dobře, předpokládejme nyní, že p nedělí a. Pak jsou p a a koprimátem a máme Bezoutovu identitu, která říká, že musí existovat celá čísla x a y taková, že

px + ay = 1.

Vynásobením všeho koeficientem b získáme

pbx + aby = b,

Vzpomeňte si, že ab může být dělitelné p. Nyní tedy máme na levé straně dva členy, které jsou dělitelné p. Člen na pravé straně je tedy také dělitelný p. Nyní jsme dokázali, že pokud p nedělí a, musí dělit b. To dokazuje lemma.

Nyní dokážeme, že celé číslo větší než 1 můžeme zapsat pouze jedním způsobem jako součin prvočísel. Vezměme dva součiny prvočísel A a B, které mají stejný výsledek. Pro výsledek součinů tedy víme, že A = B. Vezměme libovolné prvočíslo p z prvního součinu A. Dělí A, takže dělí i B. S několikanásobným použitím lemmatu, které jsme právě dokázali, vidíme, že p pak musí dělit alespoň jeden činitel b z B. Ale všechny činitele jsou samy prvočísla, takže i b je prvočíslo. Víme však, že p je také prvočíslo, takže p se musí rovnat b. Nyní tedy dělíme A prvočíslem p a dělíme také B prvočíslem p. A dostaneme výsledek jako A* = B*. Opět můžeme vzít prvočíslo p z prvního součinu A* a zjistit, že je rovno nějakému číslu v součinu B*. Pokračujeme-li tímto způsobem, nakonec vidíme, že prvočinitelé obou součinů musí být přesně stejní. To dokazuje, že kladné celé číslo můžeme zapsat jako součin prvočísel pouze jedním jedinečným způsobem.