Kombinovaný plynový zákon

Boyleův zákon říká, že součin tlaku a objemu je konstantní:

P V = k 1 ( 1 ) {\displaystyle PV=k_{1}\qquad (1)}

Charlesův zákon ukazuje, že objem je úměrný absolutní teplotě:

V T = k 2 ( 2 ) {\displaystyle {\frac {V}{T}}=k_{2}\qquad (2)}

Gay-Lussacův zákon říká, že tlak je úměrný absolutní teplotě:

P = k 3 T ( 3 ) {\displaystyle P=k_{3}T\qquad (3)}

kde P je tlak, V objem a T absolutní teplota ideálního plynu.

Kombinací (1) a jedné z (2) nebo (3) získáme novou rovnici s P, V a T. Pokud rovnici (1) vydělíme teplotou a rovnici (2) vynásobíme tlakem, dostaneme:

P V T = k 1 ( T ) T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\frac {k_{1}(T)}{T}}}}

P V T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{2}(P)P} .

Protože levá strana obou rovnic je stejná, dojdeme k výsledku.

k 1 ( T ) T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {k_{1}(T)}{T}}=k_{2}(P)P} ,

což znamená, že

P V T = konstanta {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\textrm {konstanta}}} .

Dosazením Avogadrova zákona získáme rovnici ideálního plynu.

Odvození kombinovaného plynového zákona pouze pomocí elementární algebry může přinést překvapení. Vycházíme-li například ze tří empirických zákonů

P = k V T {\displaystyle P=k_{V}\,T\,\! }           (1) Gay-Lussacův zákon, objem se předpokládá konstantní

V = k P T {\displaystyle V=k_{P}T\,\! }           (2) Charlesův zákon, tlak se považuje za konstantní

P V = k T {\displaystyle PV=k_{T}\,\! }           (3) Boyleův zákon, teplota se předpokládá konstantní

kde kV, kP a kT jsou konstanty, můžeme tyto tři konstanty vynásobit dohromady, abychom získali následující hodnoty

P V P V = k V T k P T k T {\displaystyle PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T}\,\! }

Zdá se, že odmocninou z obou stran a dělením T získáme požadovaný výsledek.

P V T = k P k V k T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\sqrt {k_{P}k_{V}k_{T}}}},\! }

Pokud však před použitím výše uvedeného postupu pouze přeskupíme členy v Boylově zákoně, kT = PV, pak po zrušení a přeskupení dostaneme následující hodnoty

k T k V k P = T 2 {\displaystyle {\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}}=T^{2}\,\! }

což není příliš užitečné, ne-li zavádějící.

Fyzikální odvození, které je delší, ale spolehlivější, začíná tím, že si uvědomíme, že parametr konstantního objemu v Gay-Lussacově zákoně se bude měnit se změnou objemu systému. Při konstantním objemu _V1 může zákon vypadat jako P = k1T, zatímco při konstantním objemu V2 může vypadat jako P = k2T. Tento "proměnný konstantní objem" označíme kV(V) a zákon přepíšeme jako

P = k V ( V ) T {\displaystyle P=k_{V}(V)\,T\,\! }           (4)

Stejná úvaha platí i pro konstantu v Charlesově zákoně, kterou lze přepsat takto

V = k P ( P ) T {\displaystyle V=k_{P}(P)\,T\,\! }           (5)

Při hledání kV(V) bychom neměli bezmyšlenkovitě eliminovat T mezi (4) a (5), protože P je v prvním případě proměnné, zatímco ve druhém se předpokládá, že je konstantní. Spíše je třeba nejprve určit, v jakém smyslu jsou tyto rovnice vzájemně kompatibilní. Abychom do toho nahlédli, připomeňme si, že libovolné dvě proměnné určují třetí. Pokud zvolíme, že P a V jsou nezávislé, představíme si hodnoty T tvořící plochu nad rovinou PV. Určité V0 a P0 definují T0, bod na této ploše. Dosazením těchto hodnot do (4) a (5) a přeskládáním získáme hodnotu

T 0 = P 0 k V ( V 0 ) a T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\displaystyle T_{0}={\frac {P_{0}}{k_{V}(V_{0})}}\quad a\quad T_{0}={\frac {V_{0}}{k_{P}(P_{0})}}}}

Protože oba tyto výrazy popisují dění ve stejném bodě na povrchu, lze oba číselné výrazy srovnat a uspořádat.

k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\displaystyle {\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}}={\frac {P_{0}}{V_{0}}}\,\! }           (6)

Všimněte si, že 1/kV(V0) a 1/kP(P0) jsou sklony kolmých přímek rovnoběžných s osou P/V a procházejících daným bodem na povrchu nad rovinou PV. Poměr sklonů těchto dvou přímek závisí pouze na hodnotě P0/V0 v daném bodě.

Všimněte si, že funkční tvar (6) nezávisí na konkrétním zvoleném bodě. Stejný vzorec by vznikl pro jakoukoli jinou kombinaci hodnot P a V. Proto lze zapsat

k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P , ∀ V {\displaystyle {\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={\frac {P}{V}}\quad \pro všechny P,\pro všechny V}           (7)

To znamená, že každý bod na povrchu má vlastní dvojici ortogonálních přímek, které jím procházejí a jejichž poměr sklonů závisí pouze na tomto bodě. Zatímco (6) je vztah mezi konkrétními sklony a hodnotami proměnných, (7) je vztah mezi funkcemi sklonu a proměnnými funkce. Platí pro libovolný bod na ploše, tj. pro libovolné a všechny kombinace hodnot P a V. Chcete-li tuto rovnici vyřešit pro funkci kV(V), nejprve oddělte proměnné, V vlevo a P vpravo.

V k V ( V ) = P k P ( P ) {\displaystyle V\,k_{V}(V)=P\,k_{P}(P)}

Zvolte libovolný tlak P1. Pravá strana se vyhodnotí na nějakou libovolnou hodnotu, nazvěme ji _karb.

V k V ( V ) = k arb {\displaystyle V\,k_{V}(V)=k_{\text{arb}}\,\! }           (8)

Tato konkrétní rovnice musí nyní platit nejen pro jednu hodnotu V, ale pro všechny hodnoty V. Jediná definice kV(V), která to zaručuje pro všechny V a libovolné _karb, je tato

k V ( V ) = k arb V {\displaystyle k_{V}(V)={\frac {k_{\text{arb}}}}{V}}}} (9)

což lze ověřit substitucí v (8).

Na závěr dosadíme (9) do Gay-Lussacova zákona (4) a přeuspořádáním získáme kombinovaný plynový zákon

P V T = k arb {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{\text{arb}}\,\! }

Všimněte si, že ačkoli při tomto odvození nebyl použit Boyleův zákon, lze jej z výsledku snadno odvodit. Obecně platí, že při tomto typu odvození stačí libovolné dva ze tří výchozích zákonů - všechny výchozí dvojice vedou ke stejnému kombinovanému plynovému zákonu.

Kombinovaný plynový zákon lze použít k vysvětlení mechaniky, kde působí tlak, teplota a objem. Například: klimatizace, chladničky a tvorba mraků a také použití v mechanice tekutin a termodynamice.

• Daltonův zákon