Youngova-Laplaceova rovnice (/ləˈplɑːs/) je nelineární parciální diferenciální rovnice, která popisuje rozdíl kapilárních tlaků na rozhraní dvou statických kapalin, například vody a vzduchu. Tento rozdíl je způsoben jevem povrchového napětí nebo napětím stěn. Stěnové napětí lze použít pouze pro velmi tenké stěny. Youngova-Laplaceova rovnice vztahuje rozdíl tlaků k tvaru povrchu nebo stěny a je zásadní při popisu a studiu statických kapilárních povrchů, kapilárních stoupání, kapek, bublin a kontaktních úhlů.

Ve fyziologii je známý jako Laplaceův zákon. Používá se k popisu tlaku uvnitř dutých orgánů a k odhadu napětí stěn (např. u cév nebo srdečních komor).

Rovnice je pojmenována po Thomasi Youngovi, který v roce 1805 vytvořil kvalitativní teorii povrchového napětí, a Pierru-Simonu Laplaceovi, který v následujícím roce dokončil její matematický popis. Někdy se jí také říká Youngova-Laplaceova-Gaussova rovnice: Carl Friedrich Gauss sjednotil v roce 1830 práci Younga a Laplace. Gauss odvodil diferenciální rovnici i okrajové podmínky pomocí principů virtuální práce Johanna Bernoulliho.

Základní tvar rovnice

Nejobecněji se rozdíl tlaku Δp přes rozhraní vyjádří jako

Δp = γ (1/R1 + 1/R2) = 2 γ H,

kde γ je povrchové napětí (jednotka N·m−1), R1 a R2 jsou hlavní křivosti rozhraní (poloměry křivosti v příčných směrech) a H je střední křivost (mean curvature). Tento vztah říká, že tlak na vnitřní straně konvexního rozhraní je vyšší než na straně konkávní, přičemž rozdíl je úměrný součtu hlavních křivek.

Speciální případy

  • Sférická kapka nebo bublina: obě křivosti jsou stejné R1 = R2 = R, tedy Δp = 2γ/R. To vysvětluje, proč menší kapky mají vyšší vnitřní tlak.
  • Cylindrický povrch (např. vlákno pokryté kapalinou): jedna křivost je 1/R, druhá je 0, takže Δp = γ/R.

Konvence znaménka a směr tlaku

Konvence, zda se Δp = p_in − p_out, se může lišit. Při běžném zápisu p_in − p_out = γ(1/R1 + 1/R2) vede konvexní (vypouklé) rozhraní k p_in > p_out. Je důležité vždy uvést, kterou stranu rozhraní považujeme za „vnitřní“.

Obecná rozšíření

  • Pokud je povrchové napětí prostorově proměnné (např. vlivem teplotních nebo koncentračních gradientů), objevuje se navíc tangenciální složka napětí a Marangoniho efekty; celkový skok normálního napětí pak zahrnuje i derivace γ po povrchu.
  • Pro elastická nebo pevná tenká stěna (např. tenká membrána) se do rovnice zavádějí i složky elastického napětí stěny, čímž vznikají obecnější rovnice mechanického rovnováhy.

Stručné odvození (intuice)

Youngova-Laplaceova rovnice lze odvodit z energetické úvahy: malá změna objemu spojená s posunem části povrchu změní povrchovou energii o γ ΔA a práci proti rozdílu tlaků o Δp ΔV. V rovnováze tyto příspěvky vyrovnají a po vyjádření změn plochy a objemu v závislosti na lokální křivosti povrchu vychází vztah Δp = γ (κ1 + κ2).

Aplikace a příklady

  • Kapilární stoupání v trubici: výška stoupání h = (2 γ cos θ) / (ρ g r) pro trubici poloměru r (θ je kontaktní úhel). Tato formule vychází ze spojení Youngova-Laplaceova vztahu s hydrostatickou rovnováhou.
  • Tvar kapky na povrchu: rovnice určuje tvar volného povrchu kapky v rovnováze s gravitací; bez gravitace jsou rovnovážné tvary povrchů konstantní křivosti (sférické).
  • Bubliny, pěna a emulze: rozdíly tlaků ovlivňují zrnění, stabilitu a koalescenci bublin a kapek.
  • Biologie a medicína: ve fyziologii (Laplaceův zákon) se používá k odhadu napětí stěn v cévách, srdečních komorách či alveolech; v mechanice tenkostěnných orgánů se často používá tvar σ = p r / t (cylinder) nebo σ = p r / (2 t) (koule) pro napětí σ ve zdi tloušťky t.

Jednotky a typické hodnoty

Povrchové napětí vody proti vzduchu při 20 °C je přibližně γ ≈ 0,072 N·m−1. Pro kapku o poloměru R = 1 mm je tedy přibližný přesah tlaku Δp = 2γ/R ≈ 144 Pa.

Upozornění a omezení

  • Youngova-Laplaceova rovnice platí při zanedbání viskózních proudů a dynamických efektů (statická rovnováha rozhraní).
  • Při velmi malých měřítcích (nanoměřítka) mohou hrát roli i jiné síly a materiálové vlastnosti (např. disperzní interakce), které je třeba přidat do modelu.

Youngova-Laplaceova rovnice je tak základním nástrojem pro chápání tvaru a stability volných rozhraní v mnoha oborech fyziky, inženýrství i biologie.