Bayesova věta

Používá se rovnice:

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) . {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}. }

Kde:

• P(A) je předběžná pravděpodobnost nebo mezní pravděpodobnost A. Je "předběžná" v tom smyslu, že nebere v úvahu žádné informace o B.
• P(A|B) je podmíněná pravděpodobnost A za předpokladu B. Nazývá se také posteriorní pravděpodobnost, protože je odvozena od určené hodnoty B nebo na ní závisí.
• P(B|A) je podmíněná pravděpodobnost B vzhledem k A. Říká se jí také pravděpodobnost.
• P(B) je priorita nebo mezní pravděpodobnost B a slouží jako normalizační konstanta.

Jednoduchý příklad je následující: V neděli je 40% pravděpodobnost deště. Pokud bude v neděli pršet, je 10% pravděpodobnost, že bude pršet i v pondělí. Pokud v neděli nepršelo, je 80% pravděpodobnost, že bude pršet v pondělí.

"Prší v neděli" je událost A a "Prší v pondělí" je událost B.

• P( A ) = 0,40 = pravděpodobnost, že v neděli bude pršet.
• P( A` ) = 0,60 = pravděpodobnost, že v neděli nebude pršet.
• P( B | A ) = 0,10 = pravděpodobnost, že v pondělí bude pršet, pokud pršelo v neděli.
• P( B` | A ) = 0,90 = pravděpodobnost, že v pondělí nebude pršet, pokud pršelo v neděli.
• P( B | A` ) = 0,80 = pravděpodobnost, že v pondělí bude pršet, pokud v neděli nepršelo.
• P( B` |A` ) = 0,20 = pravděpodobnost, že v pondělí nebude pršet, pokud nepršelo v neděli.

Nejdříve bychom obvykle vypočítali pravděpodobnost, že v pondělí bude pršet: To by byl součet pravděpodobností "v neděli prší a v pondělí prší" a "v neděli neprší a v pondělí prší".

0,40 × 0,10 + 0,60 × 0,80 = 0,52 = 52 % {\displaystyle 0,40\krát 0,10+0,60\krát 0,80=0,52=52\%} chance

Co kdybychom však řekli: "V pondělí pršelo. Jaká je pravděpodobnost, že pršelo v neděli?" Zde přichází na řadu Bayesova věta. Ta nám umožňuje vypočítat pravděpodobnost dřívější události vzhledem k výsledku pozdější události.

Používá se rovnice:

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) . {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}. }

V našem případě je "Déšť v neděli" událostí A a "Déšť v pondělí" událostí B.

• P(B|A) = 0,10 = pravděpodobnost, že v pondělí bude pršet, pokud pršelo v neděli.
• P(A) = 0,40 = pravděpodobnost, že v neděli bude pršet.
• P(B) = 0,52 = pravděpodobnost, že v pondělí bude pršet.

Chcete-li tedy vypočítat pravděpodobnost, že v neděli pršelo, vzhledem k tomu, že v pondělí pršelo:

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) . {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}. }

nebo:

P ( A | B ) = 0,10 ∗ 0,40 0,52 = .0769 {\displaystyle P(A|B)={\frac {0,10*0,40}{0,52}}=.0769}

Jinými slovy, pokud v pondělí pršelo, je 7,69% pravděpodobnost, že pršelo i v neděli.

Pro výpočet pravděpodobnosti, že v neděli pršelo, vzhledem k tomu, že v pondělí pršelo, můžeme provést následující kroky:

• Víme, že v pondělí pršelo. Celková pravděpodobnost je tedy P(B).
• Pravděpodobnost, že v neděli pršelo, je P(A).
• Pravděpodobnost, že v pondělí pršelo, vzhledem k tomu, že pršelo v neděli, je P(B|A).
• Pravděpodobnost, že bude v neděli pršet A že bude pršet i v pondělí, je P(A)*P(B|A).
• Celková pravděpodobnost, že v neděli pršelo, vzhledem k tomu, že v pondělí pršelo, je tedy rovna podílu pravděpodobnosti, že v neděli a v pondělí pršelo, a celkové pravděpodobnosti, že v pondělí pršelo.

Proto,

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) . {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}. }

Jiným způsobem, který ukazuje, odkud pochází Bayesova věta, je uvažovat pravděpodobnost P(AB), že bude pršet v neděli i v pondělí. Tu lze vypočítat dvěma různými způsoby, které dávají stejnou odpověď pro P(AB):

P ( A ) P ( B | A ) = P ( B ) P ( A | B ) {\displaystyle P(A)\,P(B|A)=P(B)\,P(A|B)}

Bayesova věta je jen jiný způsob zápisu této rovnice.