Pravidlo pravé ruky: definice a návod pro křížový součin vektorů

Jednoduchý návod a vysvětlení pravidla pravé ruky pro křížový součin vektorů — jak určit směr výsledného vektoru krok za krokem.

Pravidlo pravé ruky je jednoduchá konvence ve vektorové matematice, která pomáhá určit orientaci výsledného vektoru při křížovém (vektorovém) součinu. Užitečné je zejména v trojrozměrném prostoru při určování směru normály k rovině, točivého momentu nebo Lorentzovy síly.

1. Začněte tím, že otevřete pravou ruku a vystrčte ukazováček směrem, kterým bude směřovat první vektor.
2. Vztyčte palec, jako byste dělali znamení pro zbraň — palec ukáže směr prvního vektoru nebo může být použit pro opačný konvenci (viz poznámka níže).
3. Pokud míříte přímo před sebe, natáhněte prostředníček tak, aby směřoval doleva a všechny prsty svíraly navzájem pravý úhel. Prostředníček ukáže směr křížového součinu prvního vektoru (palec) × druhého vektoru (ukazováček).

Prakticky to funguje tak, že natáhnete palec ve směru prvního vektoru (často označovaného jako a) a ukazovák ve směru druhého vektoru (b). Směr prostředníčku (perpendikulárně k oběma) určuje směr výsledného vektoru a × b.

Nezapomeňte, že změna pořadí v násobení mění směr výsledku na opačný: t h u m b → × p o i n t e r → = m i d l e → {\displaystyle {\vec {thumb}}\times {\vec {pointer}}={\vec {middle}}}. .

Matematická definice a vlastnosti

Magnituda: Velikost křížového součinu je rovna součinu velikostí obou vektorů násobenému sinem úhlu mezi nimi:

|a × b| = |a| |b| sin θ, kde θ je úhel mezi vektory a a b (0 ≤ θ ≤ π).

Směr: Určuje ho pravidlo pravé ruky — výsledný vektor je kolmý na oba vektory a a b.

Antikomutativita: a × b = −(b × a). To znamená, že přehodíte-li pořadí, vektor se otočí o 180°.

Speciální případy:

• Pokud jsou vektory rovnoběžné (θ = 0 nebo π), pak a × b = 0 (nulový vektor).
• Pokud jsou vektory kolmé (θ = π/2), velikost |a × b| = |a||b| — dosaženo maxima.

Křížový součin v souřadnicích

Pro vektory v = (v1, v2, v3) a w = (w1, w2, w3) se křížový součin počítá komponentově jako determinant:

v × w = (v2 w3 − v3 w2, v3 w1 − v1 w3, v1 w2 − v2 w1)

Tato forma je praktická pro výpočty v analytické geometrii a fyzice.

Příklady a použití

Příklad výpočtu: Pro v = (1, 0, 0) a w = (0, 1, 0) platí v × w = (0, 0, 1) — směr osy z podle pravotočivého souřadného systému.

Typické aplikace:

• Určení normály k ploše (např. plocha tří bodů v prostoru).
• Výpočet točivého momentu (moment síly): τ = r × F.
• Fyzika částic v magnetickém poli: síla F = q (v × B) pro kladný náboj q (u záporných nabitých částic — elektronů — směr invertujte).
• Výpočet plochy rovnoběžníku určeného dvěma vektory (plocha = |a × b|).

Praktické tipy

• Vždy si pečlivě označte, který vektor je "první" a který "druhý" — pořadí je zásadní.
• Při práci v grafických nebo CAD programech dejte pozor na konvenci souřadnicového systému (pravotočivý vs. levotočivý) — pravidlo pravé ruky odpovídá pravotočivému systému.
• Pro kontrolu výsledku lze použít vlastnost, že výsledný vektor je kolmý na oba původní vektory (skalární součin s každým z nich je nula).

Pokud chcete, mohu přidat více příkladů výpočtu nebo interaktivní návod krok za krokem pro konkrétní vektory.

Otázky a odpovědi

Otázka: Co je to pravidlo pravé ruky?

Otázka: Jak se používá pravidlo pravé ruky k určení směru křížového součinu?

Otázka: Co se stane, když při křížovém násobení vektorů změníte pořadí?

Hledání podle dopisu