Gaussova eliminační metoda

V matematice je Gaussova eliminace (nazývaná také redukce řádků) metoda používaná k řešení soustav lineárních rovnic. Je pojmenována po Carlu Friedrichu Gaussovi, slavném německém matematikovi, který o této metodě psal, ale nevynalezl ji.

K provedení Gaussovy eliminace se koeficienty členů v soustavě lineárních rovnic použijí k vytvoření typu matice, která se nazývá rozšířená matice. Poté se ke zjednodušení matice použijí základní řádkové operace. Používají se tyto tři typy řádkových operací:

Typ 1: Prohození jednoho řádku jiným řádkem.

Typ 2: Násobení řádku nenulovým číslem.

Typ 3: Sčítání nebo odečítání řádku od jiného řádku.

Cílem Gaussovy eliminace je získat matici v řádkovém echelonovém tvaru. Pokud je matice v řádkově-echelonovém tvaru, znamená to, že při čtení zleva doprava bude každý řádek začínat alespoň o jeden nulový člen více než řádek nad ním. Některé definice Gaussovy eliminace říkají, že výsledek matice musí být v redukovaném řádkově-echelonovém tvaru. To znamená, že matice je v řádkově-echelonovém tvaru a jediný nenulový člen v každém řádku je 1. Gaussova eliminace, která vytváří redukovaný řádkově-echelonový výsledek matice, se někdy nazývá Gaussova-Jordanova eliminace.

Příklad

Předpokládejme, že cílem je najít odpovědi na tuto soustavu lineárních rovnic.

2 x + y - z = 8 ( R 1 ) - 3 x - y + 2 z = - 11 ( R 2 ) - 2 x + y + 2 z = - 3 ( R 3 ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}$

Nejprve je třeba systém přeměnit na rozšířenou matici. V rozšířené matici se každá lineární rovnice stává řádkem. Na jedné straně rozšířené matice se koeficienty každého členu lineární rovnice stanou čísly v matici. Na druhé straně rozšířené matice jsou konstantní členy, kterým se rovná každá lineární rovnice. Pro tuto soustavu je rozšířená matice následující:

[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\-3&-1&2&-11\-2&1&2&-3\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$

Poté lze s rozšířenou maticí provést řádkové operace, které ji zjednoduší. Následující tabulka ukazuje postup řádkové redukce soustavy rovnic a rozšířené matice.

Soustava rovnic	Řádkové operace	Rozšířená matice
2 x + y - z = 8 - 3 x - y + 2 z = - 11 - 2 x + y + 2 z = - 3 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&& \;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}$		[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\-3&-1&2&-11\-2&1&2&-3\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 2 y + z = 5 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&&y&&\;-&&&\;z&&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}$	R 2 + 3 2 R 1 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}}} $R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}$ R 3 + R 1 → R 3 {\displaystyle R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 2 1 5 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\0&1/2&1/2&1\0&2&1&5\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;& &\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 3 + - 4 R 2 → R 3 {\displaystyle R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\0&1/2&1/2&1\0&0&-1&1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$

Matice je nyní v řádkovém tvaru. Tomuto tvaru se také říká trojúhelníkový tvar.

Soustava rovnic	Řádkové operace	Rozšířená matice
2 x + y = 7 1 2 y = 3 / 2 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 2 + 1 2 R 3 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}} $R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}$ R 1 - R 3 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}$	[ 2 1 0 7 0 1 / 2 0 3 / 2 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\0&1/2&0&3/2\0&0&1&1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$
2 x + y = 7 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	2 R 2 → R 2 {\displaystyle 2R_{2}\rightarrow R_{2}} $2R_{2}\rightarrow R_{2}$ R 3 → R 3 {\displaystyle -R_{3}\rightarrow R_{3}} $-R_{3}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 0 7 0 1 0 3 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\0&1&0&3\0&0&1&-1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$
x = 2 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&& y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	R 1 - R 2 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}$ 1 2 R 1 → R 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}} ${\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}$	[ 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\0&1&0&3\0&0&1&-1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$

Matice je nyní v redukovaném řádkovém tvaru. Přečtením této matice zjistíme, že řešení této soustavy rovnic nastane, když x = 2, y = 3 a z = -1.

Otázky a odpovědi

Otázka: Co je to Gaussova eliminace?

Odpověď: Gaussova eliminace je metoda používaná v matematice k řešení soustav lineárních rovnic.

Otázka: Po kom je pojmenována?

Odpověď: Je pojmenována po Carlu Friedrichu Gaussovi, slavném německém matematikovi, který o této metodě psal, ale nevynalezl ji.

Otázka: Jak se Gaussova eliminace provádí?

Odpověď: Gaussova eliminace se provádí tak, že se pomocí koeficientů členů v soustavě lineárních rovnic vytvoří rozšířená matice. Poté se ke zjednodušení matice použijí základní řádkové operace.

Otázka: Jaké tři typy řádkových operací se používají při Gaussově eliminaci?

Odpověď: V Gaussově eliminaci se používají tyto tři typy řádkových operací: Prohození jednoho řádku s jiným řádkem, Násobení řádku nenulovým číslem a Sčítání nebo odečítání řádku od jiného řádku.

Otázka: Co je cílem Gaussovy eliminace?

Odpověď: Cílem Gaussovy eliminace je získat matici v řádkovém echelonovém tvaru.

Otázka: Co je to řádkový echelonový tvar?

Odpověď: Pokud je matice v řádkově-echelonovém tvaru, znamená to, že při čtení zleva doprava bude každý řádek začínat alespoň o jeden nulový člen více než řádek nad ním.

Otázka: Co je to redukovaná řádkově-echelonová forma?

Odpověď: Redukovaná řádková echelonová forma znamená, že matice je v řádkové echelonové formě a jediný nenulový člen v každém řádku je 1. Gaussova eliminace, která vytváří výsledek redukované řádkové echelonové matice, se někdy nazývá Gaussova-Jordanova eliminace.