Fermatovo číslo
Fermatovo číslo je speciální kladné číslo. Fermatova čísla jsou pojmenována po Pierru de Fermatovi. Vzorec, který je generuje, je F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1}} kde n je nezáporné celé číslo. Prvních devět Fermat…
Fermatovo číslo je speciální kladné číslo. Fermatova čísla jsou pojmenována po Pierru de Fermatovi. Vzorec, který je generuje, je
F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1}} 
kde n je nezáporné celé číslo. Prvních devět Fermatových čísel je (sekvence A000215 v OEIS):
F0 = 21 + 1 = 3
F1 = 22 + 1 = 5
F2 = 24 + 1 = 17
F3 = 28 + 1 = 257
F4 = 216 + 1 = 65537
F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417
F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721
F7 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721
F8 = 2256 + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321
Do roku 2007 bylo kompletně vynásobeno pouze prvních 12 Fermatových čísel. Tyto faktorizace lze nalézt na adrese Prime Factors of Fermat Numbers.
Je-li 2n + 1 prvočíslo a n > 0, lze ukázat, že n musí být mocnina dvou. Každé prvočíslo tvaru 2n + 1 je Fermatovo číslo a taková prvočísla se nazývají Fermatova prvočísla. Jediná známá Fermatova prvočísla jsou F0,...,F4.
Zajímavosti o Fermatových číslech
- Žádná dvě Fermatova čísla nemají společné dělitele.
- Fermatova čísla lze vypočítat rekurzivně: N-té číslo získáte tak, že vynásobíte všechna Fermatova čísla před ním a k výsledku přičtete dvojku.
K čemu se používají
Dnes lze Fermatova čísla použít ke generování náhodných čísel v rozmezí od 0 do určité hodnoty N, která je mocninou 2.
Fermatova domněnka
Fermat při studiu těchto čísel vyslovil domněnku, že všechna Fermatova čísla jsou prvočísla. To dokázal Leonhard Euler, který v roce 1732 faktorizoval F 5 {\displaystyle F_{5}}
.
Otázky a odpovědi
Otázka: Co je to Fermatovo číslo?
Odpověď: Fermatovo číslo je speciální kladné číslo pojmenované po Pierru de Fermatovi. Vzniká podle vzorce F_n = 2^2^(n) + 1, kde n je nezáporné celé číslo.
Otázka: Kolik je Fermatových čísel?
Odpověď: Od roku 2007 bylo kompletně vyfakturováno pouze prvních 12 Fermatových čísel.
Otázka: Jakých je prvních devět Fermatových čísel?
A: F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297 (641 × 6700417), F6 = 18446744073709551617 (274177 × 67280421310721), F7 = 340282366920938463463374607431768211457 (59649589127497217 × 5704689200685129054721), a F8 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 (1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321).
Otázka: Co lze říci o prvočíslech tvaru 2n + 1?
Odpověď: Je-li 2n + 1 prvočíslo a n > 0, pak lze ukázat, že n musí být mocnina dvou. Každé prvočíslo tvaru 2n + 1 je také Fermatovo číslo a taková prvočísla se nazývají Fermatova prvočísla. Jediná známá Fermatova prvočísla jsou od 0 do 4.
Otázka: Kde lze najít faktorizace všech 12 známých faktorizovaných Fermatových čísel?
Odpověď: Faktorizace všech 12 známých faktorovaných Fermatových čísel lze nalézt na adrese Prvočinitelé Fermatových čísel.
Otázka: Kdo byl Pierre de Fermaat?
Odpověď: Pierre de Fermaat byl vlivný francouzský matematik, který žil v 17. století a jehož práce položily základy moderní matematiky. Je známý především pro své příspěvky k teorii pravděpodobnosti a analytické geometrii a také pro svou slavnou Poslední větu, která zůstala nevyřešena až do roku 1995, kdy ji konečně dokázal Andrew Wiles pomocí metod algebraické geometrie.
Související články
Autor
AlegsaOnline.com Fermatovo číslo Leandro Alegsa
URL: https://cs.alegsaonline.com/art/34028