Fermatovo číslo

Autor: Leandro Alegsa Datum vytvoření: 20. května 2021

Fermatovo číslo je speciální kladné číslo. Fermatova čísla jsou pojmenována po Pierru de Fermatovi. Vzorec, který je generuje, je

F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1}} $F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1$

kde n je nezáporné celé číslo. Prvních devět Fermatových čísel je (sekvence A000215 v OEIS):

F0 = ²¹ + 1 = 3

F1 = ²² + 1 = 5

F2 = ²⁴ + 1 = 17

F3 = ²⁸ + 1 = 257

F4 = ²¹⁶ + 1 = 65537

F5 = ²³² + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417

F6 = ²⁶⁴ + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721

F7 = ²¹²⁸ + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

F8 = ²²⁵⁶ + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

Do roku 2007 bylo kompletně vynásobeno pouze prvních 12 Fermatových čísel. Tyto faktorizace lze nalézt na adrese Prime Factors of Fermat Numbers.

Je-li 2n + 1 prvočíslo a n > 0, lze ukázat, že n musí být mocnina dvou. Každé prvočíslo tvaru 2n + 1 je Fermatovo číslo a taková prvočísla se nazývají Fermatova prvočísla. Jediná známá Fermatova prvočísla jsou F0,...,F4.

Zajímavosti o Fermatových číslech

Žádná dvě Fermatova čísla nemají společné dělitele.
Fermatova čísla lze vypočítat rekurzivně: N-té číslo získáte tak, že vynásobíte všechna Fermatova čísla před ním a k výsledku přičtete dvojku.

K čemu se používají

Dnes lze Fermatova čísla použít ke generování náhodných čísel v rozmezí od 0 do určité hodnoty N, která je mocninou 2.

Fermatova domněnka

Fermat při studiu těchto čísel vyslovil domněnku, že všechna Fermatova čísla jsou prvočísla. To dokázal Leonhard Euler, který v roce 1732 faktorizoval F 5 {\displaystyle F_{5}} $F_{5}$ .

Otázky a odpovědi

Otázka: Co je to Fermatovo číslo?

Odpověď: Fermatovo číslo je speciální kladné číslo pojmenované po Pierru de Fermatovi. Vzniká podle vzorce F_n = 2^2^(n) + 1, kde n je nezáporné celé číslo.

Otázka: Kolik je Fermatových čísel?

Odpověď: Od roku 2007 bylo kompletně vyfakturováno pouze prvních 12 Fermatových čísel.

Otázka: Jakých je prvních devět Fermatových čísel?

A: F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297 (641 × 6700417), F6 = 18446744073709551617 (274177 × 67280421310721), F7 = 340282366920938463463374607431768211457 (59649589127497217 × 5704689200685129054721), a F8 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 (1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321).

Otázka: Co lze říci o prvočíslech tvaru 2n + 1?

Odpověď: Je-li 2n + 1 prvočíslo a n > 0, pak lze ukázat, že n musí být mocnina dvou. Každé prvočíslo tvaru 2n + 1 je také Fermatovo číslo a taková prvočísla se nazývají Fermatova prvočísla. Jediná známá Fermatova prvočísla jsou od 0 do 4.

Otázka: Kde lze najít faktorizace všech 12 známých faktorizovaných Fermatových čísel?

Odpověď: Faktorizace všech 12 známých faktorovaných Fermatových čísel lze nalézt na adrese Prvočinitelé Fermatových čísel.

Otázka: Kdo byl Pierre de Fermaat?

Odpověď: Pierre de Fermaat byl vlivný francouzský matematik, který žil v 17. století a jehož práce položily základy moderní matematiky. Je známý především pro své příspěvky k teorii pravděpodobnosti a analytické geometrii a také pro svou slavnou Poslední větu, která zůstala nevyřešena až do roku 1995, kdy ji konečně dokázal Andrew Wiles pomocí metod algebraické geometrie.