Zenonovy paradoxy
Zenónovy paradoxy jsou slavným souborem příběhů či hádanek, které vytvořil Zenón z Eleje v polovině 5. století př. n. l. Filozofové, fyzikové a matematici se již 25 století přou o to, jak odpovědět na otázky, které Zenónovy paradoxy vyvolávají. Je mu připisováno devět paradoxů. Zenon je sestavil jako odpověď těm, kteří považovali Parmenidovu myšlenku, že "vše je jedno a neměnné", za absurdní. Tři ze Zenonových paradoxů jsou nejznámější a nejproblematičtější; dva z nich uvádíme níže. Ačkoli se specifika jednotlivých paradoxů od sebe liší, všechny se zabývají napětím mezi zdánlivě spojitou povahou prostoru a času a diskrétní či přírůstkovou povahou fyziky.
Achilles a želva
V paradoxu Achilles a želva se Achilles utkává s želvou. Achilles umožní želvě například náskok 100 metrů. Předpokládejme, že každý závodník začne běžet konstantní rychlostí, jeden velmi rychle a druhý velmi pomalu. Po nějakém konečném čase uběhne Achilles 100 metrů, čímž se dostane na želví start. Za tuto dobu uběhla pomalejší želva mnohem kratší vzdálenost. Achillovi pak bude trvat ještě nějakou dobu, než tuto vzdálenost uběhne, a želva mezitím postoupí dál. Achillovi pak bude trvat ještě déle, než dosáhne tohoto třetího bodu, zatímco želva se opět posune vpřed. Kdykoli tedy Achilles dorazí někam, kde už želva byla, má před sebou ještě další cestu. Protože tedy existuje nekonečný počet bodů, kterých musí Achilles dosáhnout tam, kde už želva byla, nemůže želvu nikdy předstihnout.
Dichotomický paradox
Předpokládejme, že se někdo chce dostat z bodu A do bodu B. Nejprve se musí přesunout na polovinu cesty. Pak musí urazit polovinu zbývající cesty. Při pokračování tímto způsobem bude vždy zbývat nějaká malá vzdálenost a cíle by vlastně nikdy nedosáhl. Vždy bude třeba přidat další číslo v řadě, například 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ..... Pohyb z libovolného bodu A do libovolného jiného bodu B je tedy považován za nemožný.
Komentář
V tom tedy spočívá Zenonův paradox: oba obrazy skutečnosti nemohou být pravdivé současně. Tedy buď: 1. 2. Ve skutečnosti neexistuje nic takového jako diskrétní nebo postupné množství času, vzdálenosti nebo snad čehokoli jiného, nebo 3. V tomto případě je něco špatně s tím, jak vnímáme spojitou povahu času. Existuje třetí obraz reality, který sjednocuje oba obrazy - matematický a zdravý rozum nebo filozofický - a který zatím nemáme nástroje k plnému pochopení.
Navrhovaná řešení
Málokdo by si vsadil, že želva vyhraje závod s atletem. Co je však na tomto argumentu špatného?
Když začneme sčítat členy řady 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...., můžeme si všimnout, že součet se stále více blíží k 1 a nikdy nepřekročí 1. Aristoteles (který je zdrojem většiny toho, co víme o Zenonovi) si všiml, že s klesající vzdáleností (v dichotomickém paradoxu) se čas potřebný k ujetí každé vzdálenosti nesmírně zmenšuje. Před rokem 212 př. n. l. Archimédes vyvinul metodu, jak odvodit konečnou odpověď pro součet nekonečně mnoha členů, které se postupně zmenšují (například 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...). Moderní kalkul dosahuje stejného výsledku pomocí přísnějších metod.
Někteří matematici, jako například w:Carl Boyer, se domnívají, že Zenónovy paradoxy jsou jednoduše matematické problémy, pro které moderní kalkul poskytuje matematické řešení. Zenonovy otázky však zůstávají problematické, pokud se k nekonečné řadě kroků přistupuje krok za krokem. Tomuto postupu se říká supertěžká úloha. Kalkul ve skutečnosti nezahrnuje sčítání čísel po jednom. Místo toho určuje hodnotu (nazývanou limita), ke které se sčítání blíží.
Viz články na anglické Wikipedii
- Zenónovy paradoxy
- Kvadratura paraboly
- 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + - - -
- Thompsonova lampa
