Topologický prostor
Topologický prostor je prostor studovaný v topologii, matematice struktury tvarů. Zhruba se jedná o množinu věcí (nazývaných body) a způsob, jak zjistit, které věci jsou blízko sebe.
Přesněji řečeno, topologický prostor má určitý druh množin, tzv. otevřené množiny. Otevřené množiny jsou důležité, protože umožňují hovořit o bodech v blízkosti jiného bodu, tzv. okolí bodu. Okolí bodu je jednoduše otevřená množina obsahující tento bod. Kdybychom neměli pojem otevřených množin, nemohli bychom sousedství dobře definovat. Pokud bychom se pokusili definovat okolí bodu jako jakoukoli množinu obsahující tento bod, mohlo by to zahrnovat pouze tento bod a pouze tento bod, nikoli jakékoli body v jeho blízkosti nebo body vzdálené. Máme také pojem uzavřené množiny, které jsou doplněním otevřených množin. To znamená, že všechny body, které nepatří do určité otevřené množiny, tvoří uzavřenou množinu.
Otevřené množiny musí dodržovat určitá pravidla, aby odpovídaly našim představám o blízkosti. Sjednocení libovolného počtu otevřených množin musí být otevřené a sjednocení konečného počtu uzavřených množin musí být uzavřené. (Druhé pravidlo platí pouze pro konečný počet uzavřených množin. To proto, že v mnoha případech je množina obsahující jediný bod uzavřená. Jakákoli množina se skládá z bodů. Kdyby druhé pravidlo platilo pro nekonečný počet uzavřených množin, pak by každá množina byla uzavřená.) Zvláštním případem je množina obsahující každý bod, která je zároveň otevřená i uzavřená. Množina neobsahující žádný bod je rovněž otevřená i uzavřená.
Množina bodů může mít mnoho různých definic toho, co je otevřená množina. Za otevřené lze považovat jen některé množiny, nebo více množin. Dokonce lze za otevřenou množinu považovat každou množinu. Stejná množina s různými definicemi otevřených množin tvoří různé topologické prostory.
Otázky a odpovědi
Otázka: Co je to topologický prostor?
Odpověď: Topologický prostor je množina bodů a způsob, jak zjistit, které věci jsou blízko sebe. Studuje se v matematice v oblasti struktury tvarů.
Otázka: Co jsou to otevřené množiny?
Odpověď: Otevřené množiny jsou důležité, protože umožňují hovořit o bodech v blízkosti jiného bodu, tzv. okolí bodu. Jsou definovány jako určité druhy množin, které lze použít k dobrému definování sousedství.
Otázka: Co musí otevřené množiny sledovat?
Odpověď: Otevřené množiny musí dodržovat určitá pravidla, aby odpovídaly našim představám o blízkosti. Sjednocení libovolného počtu otevřených množin musí být otevřené a sjednocení konečného počtu uzavřených množin musí být uzavřené.
Otázka: Jaký je speciální případ pro otevřené a uzavřené množiny?
Odpověď: Speciální případ pro otevřené a uzavřené množiny spočívá v tom, že množina obsahující každý bod je otevřená i uzavřená, stejně jako množina neobsahující žádný bod je otevřená i uzavřená.
Otázka: Jak ovlivňují různé definice topologické prostory?
Odpověď: Různé definice toho, co je otevřená množina, mohou ovlivnit topologické prostory tím, že za otevřené považují jen některé množiny nebo více než obvykle, nebo dokonce považují každou množinu za otevřenou.
Otázka: Může nekonečný počet uzavřených množin tvořit nějakou množinu?
Odpověď: Ne, kdyby bylo povoleno nekonečné množství uzavřených množin, pak by se každá množina považovala za uzavřenou, protože každá množina se skládá pouze z bodů.
