Topologický prostor je prostor studovaný v topologii, matematice struktury tvarů. Zhruba se jedná o množinu věcí (nazývaných body) a způsob, jak zjistit, které věci jsou blízko sebe.
Přesněji řečeno, topologický prostor má určitý druh množin, tzv. otevřené množiny. Otevřené množiny jsou důležité, protože umožňují hovořit o bodech v blízkosti jiného bodu, tzv. okolí bodu. Okolí bodu je jednoduše otevřená množina obsahující tento bod. Kdybychom neměli pojem otevřených množin, nemohli bychom sousedství dobře definovat. Pokud bychom se pokusili definovat okolí bodu jako jakoukoli množinu obsahující tento bod, mohlo by to zahrnovat pouze tento bod a pouze tento bod, nikoli jakékoli body v jeho blízkosti nebo body vzdálené. Máme také pojem uzavřené množiny, které jsou doplněním otevřených množin. To znamená, že všechny body, které nepatří do určité otevřené množiny, tvoří uzavřenou množinu.
Otevřené množiny musí dodržovat určitá pravidla, aby odpovídaly našim představám o blízkosti. Sjednocení libovolného počtu otevřených množin musí být otevřené a sjednocení konečného počtu uzavřených množin musí být uzavřené. (Druhé pravidlo platí pouze pro konečný počet uzavřených množin. To proto, že v mnoha případech je množina obsahující jediný bod uzavřená. Jakákoli množina se skládá z bodů. Kdyby druhé pravidlo platilo pro nekonečný počet uzavřených množin, pak by každá množina byla uzavřená.) Zvláštním případem je množina obsahující každý bod, která je zároveň otevřená i uzavřená. Množina neobsahující žádný bod je rovněž otevřená i uzavřená.
Množina bodů může mít mnoho různých definic toho, co je otevřená množina. Za otevřené lze považovat jen některé množiny, nebo více množin. Dokonce lze za otevřenou množinu považovat každou množinu. Stejná množina s různými definicemi otevřených množin tvoří různé topologické prostory.