AlegsaOnline.com

Pružná srážka: definice, příklady a zákon zachování energie a hybnosti

Pružná srážka: definice, vzorce a příklady včetně zákona zachování energie a hybnosti. Naučte se řešit ideální i praktické případy rychle a přehledně.

Autor: Leandro Alegsa

04-04-2026

Pružná srážka je situace, kdy se dva objekty srazí a odrazí se zpět s malou nebo žádnou deformací. Například dva gumové míčky, které se od sebe odrazí, jsou pružné. Dvě auta, která do sebe narazí, jsou nepružná, protože se zmačkají a neodrazí se zpět. Při dokonale pružné srážce (nejjednodušší případ) nedochází ke ztrátě kinetické energie, a proto je kinetická energie obou objektů po srážce rovna jejich celkové kinetické energii před srážkou. K pružným srážkám dochází pouze tehdy, pokud nedochází k čisté přeměně kinetické energie na jiné formy (teplo, zvuk). Dalším pravidlem, které je třeba si při práci s pružnými srážkami zapamatovat, je, že hybnost se zachovává.

Co se zachovává

Hybnost: Celková hybnost soustavy se nezmění. Pro dva tělesa s hmotnostmi m1, m2 a rychlostmi před srážkou u1, u2 a po srážce v1, v2 platí
m1·u1 + m2·u2 = m1·v1 + m2·v2.
Kinetická energie (u dokonale pružné srážky): Celková kinetická energie se nezmění:
½·m1·u1² + ½·m2·u2² = ½·m1·v1² + ½·m2·v2².

Jednorozměrná pružná srážka — užitečné vzorce

V jednorozměrném případě (dráha kolineární) lze z výše uvedených rovnic vyřešit výsledné rychlosti v1 a v2. Pro dva body s hmotnostmi m1, m2 platí:

v1 = ( (m1 − m2)·u1 + 2·m2·u2 ) / (m1 + m2)
v2 = ( (m2 − m1)·u2 + 2·m1·u1 ) / (m1 + m2)

Další užitečná vlastnost pro dokonale pružnou srážku v 1D je, že se relativní rychlost před a po srážce změní na opačnou hodnotu:

u1 − u2 = −(v1 − v2).

Tento vztah lze použít při řešení úloh i místo explicitního řešení kvadratické rovnice vzniklé ze zachování energie.

Rámec těžiště (střední soustavy)

Ve středu hmotnosti (CM) má soustava celkovou hybnost nulovou. V tomto rámci jsou případy dokonale pružné velmi jednoduché: rychlosti těles se po srážce pouze inverzně obrátí (tzn. v' = −u'), což často zjednodušuje odvození i výpočet výsledných rychlostí v laboratorním rámci.

Koeficient restituce a částečně pružné srážky

Ne všechny reálné srážky jsou dokonale pružné. Zavádí se koeficient restituce e, který měří, do jaké míry se relativní rychlost zachovává:

e = (v2 − v1) / (u1 − u2), kde 0 ≤ e ≤ 1.

e = 1 → dokonale pružná srážka (žádná ztráta kinetické energie).
e = 0 → dokonale nepružná srážka (těla se po srážce slepí a pohybují se společně).
0 < e < 1 → částečně pružná srážka (část kinetické energie se přemění např. na teplo nebo zvuk).

Příklady a aplikace

Billiardy: srážky mezi koulemi jsou blízké pružným, prakticky se využívá zachování hybnosti a přibližné zachování kinetické energie.
Gumové míčky: často částečně pružné; výška nadskočení závisí na koeficientu restituce.
Atomy a molekuly v plynech: mezi srážkami molekul ideálního plynu se často předpokládá pružnost — to umožňuje odvoz rovnic stavu ideálního plynu a rozdělení rychlostí (Maxwell-Boltzmann).
Dopravní nehody: běžně nepružné — velká část kinetické energie se přemění na deformaci, teplo a zvuk.

Jak řešit úlohy

Obvyklý postup při úlohách:

Určete, zda je srážka považována za dokonale pružnou (e = 1) nebo za částečně pružnou (má-li být použit e).
Sepište rovnici zachování hybnosti: m1·u1 + m2·u2 = m1·v1 + m2·v2.
Sepište rovnici zachování energie (pro e = 1) nebo vztah s koeficientem restituce (pro obecný e).
Vyřešte soustavu rovnic pro neznámé v1 a v2 (v 1D) nebo rozvažte složky rychlosti v 2D/3D.

Upozornění

V reálných situacích je často nutné zohlednit rotační pohyby, deformace, tření a přenos energie na vnitřní excitace (teplo, plastická deformace). Tyto jevy vedou k tomu, že srážka není dokonale pružná a jednoduché vzorce se musí rozšířit nebo nahradit pokročilejší mechanikou a materiálovou analýzou.

Stručně: pružná srážka znamená zachování hybnosti a (v ideálním případě) zachování kinetické energie; pro 1D pružné srážky existují jednoduché uzavřené vzorce pro výsledné rychlosti, které jsou často využívány v řešení praktických úloh a modelování.

Ukázka pružné srážky nestejných hmotností

Jednorozměrný newtonovský

Uvažujme dvě částice označené indexy 1 a 2. Nechť m₁ a m₂ jsou hmotnosti, u₁ a u₂ jsou rychlosti před srážkou a v₁ a v₂ jsou rychlosti po srážce.

Použití zákona zachování hybnosti k zápisu jednoho vzorce

Protože se jedná o pružnou srážku, je celková hybnost před srážkou stejná jako celková hybnost po srážce. Vzhledem k tomu, že hybnost (p) se vypočítá jako

p = m v {\displaystyle \,\!p=mv} $\,\!p=mv$

Moment hybnosti před srážkou můžeme vypočítat takto:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}$

a hybnost po srážce je:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}} $\,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

Pokud tyto dvě rovnice stanovíme jako stejné, získáme první rovnici:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}) $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

Použití zákona zachování energie k zápisu druhého vzorce

Druhým pravidlem, které používáme, je, že celková kinetická energie zůstává stejná, což znamená, že počáteční kinetická energie se rovná konečné kinetické energii.

Vzorec pro kinetickou energii je:

m v 2 2 {\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}} ${\frac {mv^{2}}{2}}$

Použijte tedy stejné proměnné jako dříve: Počáteční kinetická energie je:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}}}}} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}$

Konečná kinetická energie je:

m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. } ${\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

Nastavíme je tak, aby se rovnaly (protože celková kinetická energie zůstává stejná):

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. } ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

Když tyto dvě rovnice spojíme dohromady

Tyto rovnice lze řešit přímo a najít v_i , když je známo u_i , nebo naopak. Zde je ukázkový problém, který lze řešit buď pomocí zachování hybnosti, nebo zachování energie:

Například:

Kulička 1: hmotnost = 3 kg, v = 4 m/s

Kulička 2: hmotnost = 5 kg, v = -6 m/s

Po srážce:

Koule 1: v = -8,5 m/s

Kulička 2: v = neznámá ( Budeme ji znázorňovat pomocí v )

Využití zachování hybnosti:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. } $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.$

3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8,5 ) + 5 ∗ v {\displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8,5)+5*v} $\ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v$

Po vynásobení a následném odečtení 3 ∗ ( - 8,5 ) {\displaystyle 3*(-8,5)} $3*(-8.5)$ od obou stran dostaneme:

12 - 30 + 25,5 = 5 ∗ v {\displaystyle \ 12-30+25,5=5*v} $\ 12-30+25.5=5*v$

Po sečtení levé strany a následném vydělení 5 {\displaystyle 5} $5$ získáme:

7,5 5 = v {\displaystyle {\frac {7,5}{5}}=v} ${\frac {7.5}{5}}=v$ , a konečným dělením získáme: 1,5 = v {\displaystyle \ 1,5=v}. $\ 1.5=v$

Tento problém jsme mohli vyřešit také pomocí zákona o zachování energie:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}}}} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}$

3 ∗ 4 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 = 3 ( - 8,5 ) 2 2 + 5 v 2 2 {\displaystyle {\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8,5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}}}{2}}}} ${\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8.5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}$

Vynásobíme-li obě strany číslem 2 {\displayystyle 2} $2$ , a poté provedeme všechna potřebná násobení, získáme:

48 + 180 = 216,75 + 5 v 2 {\displaystyle \ 48+180=216,75+5v^{2}} $\ 48+180=216.75+5v^{2}$

Sečteme-li čísla vlevo, odečteme od obou stran 216,75 {\displaystyle 216,75} $216.75$ a vydělíme 5 {\displaystyle 5} $5$ , získáme číslo:

2,25 = v 2 {\displaystyle \ 2,25=v^{2}} $\ 2.25=v^{2}$

Pokud vezmeme druhou odmocninu z obou stran, dostaneme odpověď v = ± 1,5 {\displaystyle v=\pm 1,5}. $v=\pm 1.5$ .

Bohužel bychom stále museli použít zákon zachování hybnosti, abychom zjistili, zda je v {\displaystyle v} $v$ kladné nebo záporné.

Otázky a odpovědi

Otázka: Co je to pružná srážka?

A: Pružná srážka je, když se dva objekty srazí a odrazí se zpět s malou nebo žádnou deformací.

Otázka: Jaký je příklad pružné srážky?

Odpověď: Příkladem pružné srážky jsou dva gumové míčky, které se od sebe odrážejí.

Otázka: Co je nepružná srážka?

Odpověď: Nepružná srážka je, když se dva předměty srazí a zmačkají a neodrazí se zpět.

Otázka: Co je příkladem nepružné srážky?

Odpověď: Příkladem nepružné srážky jsou dvě auta, která do sebe narazí.

Otázka: Co se stane při dokonale pružné srážce?

Odpověď: Při dokonale pružné srážce nedochází ke ztrátě kinetické energie, a proto je kinetická energie obou objektů po srážce rovna jejich celkové kinetické energii před srážkou.

Otázka: Jak dochází k pružným srážkám?

Odpověď: K pružným srážkám dochází pouze tehdy, pokud nedochází k čisté přeměně kinetické energie na jiné formy, jako je teplo nebo zvuk.

Otázka: Co se při pružné srážce zachovává?

Odpověď: Při pružné srážce se zachovává hybnost.