Pružná srážka

Jednorozměrný newtonovský

Uvažujme dvě částice označené indexy 1 a 2. Nechť m₁ a m₂ jsou hmotnosti, u₁ a u₂ jsou rychlosti před srážkou a v₁ a v₂ jsou rychlosti po srážce.

Použití zákona zachování hybnosti k zápisu jednoho vzorce

Protože se jedná o pružnou srážku, je celková hybnost před srážkou stejná jako celková hybnost po srážce. Vzhledem k tomu, že hybnost (p) se vypočítá jako

p = m v {\displaystyle \,\!p=mv}

Moment hybnosti před srážkou můžeme vypočítat takto:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}

a hybnost po srážce je:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}

Pokud tyto dvě rovnice stanovíme jako stejné, získáme první rovnici:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}})

Použití zákona zachování energie k zápisu druhého vzorce

Druhým pravidlem, které používáme, je, že celková kinetická energie zůstává stejná, což znamená, že počáteční kinetická energie se rovná konečné kinetické energii.

Vzorec pro kinetickou energii je:

m v 2 2 {\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}}

Použijte tedy stejné proměnné jako dříve: Počáteční kinetická energie je:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}}}}}

Konečná kinetická energie je:

m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. }

Nastavíme je tak, aby se rovnaly (protože celková kinetická energie zůstává stejná):

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. }

Když tyto dvě rovnice spojíme dohromady

Tyto rovnice lze řešit přímo a najít v_i , když je známo u_i , nebo naopak. Zde je ukázkový problém, který lze řešit buď pomocí zachování hybnosti, nebo zachování energie:

Například:

Kulička 1: hmotnost = 3 kg, v = 4 m/s

Kulička 2: hmotnost = 5 kg, v = -6 m/s

Po srážce:

Koule 1: v = -8,5 m/s

Kulička 2: v = neznámá ( Budeme ji znázorňovat pomocí v )

Využití zachování hybnosti:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. }

  3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8,5 ) + 5 ∗ v {\displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8,5)+5*v}

Po vynásobení a následném odečtení 3 ∗ ( - 8,5 ) {\displaystyle 3*(-8,5)} od obou stran dostaneme:

  12 - 30 + 25,5 = 5 ∗ v {\displaystyle \ 12-30+25,5=5*v}

Po sečtení levé strany a následném vydělení 5 {\displaystyle 5} získáme:

7,5 5 = v {\displaystyle {\frac {7,5}{5}}=v} , a konečným dělením získáme:   1,5 = v {\displaystyle \ 1,5=v}.

Tento problém jsme mohli vyřešit také pomocí zákona o zachování energie:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}}}}

3 ∗ 4 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 = 3 ( - 8,5 ) 2 2 + 5 v 2 2 {\displaystyle {\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8,5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}}}{2}}}}

Vynásobíme-li obě strany číslem 2 {\displayystyle 2} , a poté provedeme všechna potřebná násobení, získáme:

  48 + 180 = 216,75 + 5 v 2 {\displaystyle \ 48+180=216,75+5v^{2}}

Sečteme-li čísla vlevo, odečteme od obou stran 216,75 {\displaystyle 216,75} a vydělíme 5 {\displaystyle 5} , získáme číslo:

  2,25 = v 2 {\displaystyle \ 2,25=v^{2}}

Pokud vezmeme druhou odmocninu z obou stran, dostaneme odpověď v = ± 1,5 {\displaystyle v=\pm 1,5}. .

Bohužel bychom stále museli použít zákon zachování hybnosti, abychom zjistili, zda je v {\displaystyle v} kladné nebo záporné.