Jednotkový vektor: definice, normalizace a příklady
Jednotkový vektor: jasné vysvětlení definice, postup normalizace krok za krokem a názorné příklady pro rychlé pochopení a praktické použití ve vektorové analýze a fyzice.
Jednotkový vektor je každý vektor o délce jedné jednotky.
Jednotkové vektory se často zapisují stejně jako normální vektory, ale se značkou nad písmenem (např. a ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {a}} }
je jednotkový vektor a.)
Chcete-li z vektoru vytvořit jednotkový vektor, vydělte jej jeho délkou: u ^ = u / ‖ u ‖ {\displaystyle {\widehat {u}}=u/\lVert u\rVert } 
Definice a interpretace
Jednotkový vektor má délku (normu) rovnu 1. V Eukleidovském prostoru R^n se nejčastěji používá Euclidovská norma ‖u‖ = sqrt(u1^2 + u2^2 + ... + un^2). Jednotkový vektor určuje pouze směrovou informaci (směr a orientaci), nikoli velikost; je to tedy „směrový“ vektor.
Normalizace vektoru
Postup normalizace (převodu libovolného nenulového vektoru u na jednotkový vektor) je následující:
- Vypočtěte délku ‖u‖.
- Vydělte každý komponent vektoru touto délkou: û = u / ‖u‖.
Výsledek má normu 1: ‖û‖ = 1.
Důležitá poznámka: nulový vektor (0,0,…,0) nelze normalizovat, protože jeho délka je 0 a dělení nulou není definováno.
Příklady
- V R^2: pro vektor v = (3, 4) je ‖v‖ = 5, jednotkový vektor û = (3/5, 4/5).
- V R^3: pro vektor w = (1, 2, 2) je ‖w‖ = sqrt(1+4+4) = 3, jednotkový vektor ŵ = (1/3, 2/3, 2/3).
- Standardní orty: v R^3 jsou jednotkové vektory i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1). Ty tvoří ortonormální bázi (navzájem kolmé a každá délky 1).
Vlastnosti a použití
- Pokud û je jednotkový vektor, pak û · û = 1 (skalární součin se sebou samým = 1).
- Jednotkové vektory se používají k určení směru vektorů: v = ‖v‖ · û, kde û je jednotkový vektor ve směru v.
- Pro projekci vektoru v na směr jednotkového vektoru û platí: proj_{û}(v) = (v · û) û. Díky tomu se snadno získá složka vektoru v ve směru û.
- V aplikacích (fyzika, počítačová grafika, strojové učení apod.) se jednotkové vektory používají pro orientaci, normování funkcí, tvorbu směrových polí a podobně.
Praktické připomínky
- Při numerickém výpočtu pozor na velmi malé hodnoty normy — dělení může způsobit numerické chyby.
- Pro rychlou normalizaci vektorů ve velkých maticích se často používají knihovny s vektorovými operacemi, které jsou optimalizované a stabilní.
- V některých kontextech (např. jiné metriky než Euclidovské) se používá jiná norma, ale pojem „jednotkový vektor“ v takovém případě znamená vektor s normou rovnající se jedné podle zvolené normy.
Ve formě komponenty
Tři běžné jednotkové vektory používané ve složkovém tvaru jsou i ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {i}} } 
, j ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {j}} } 
a k ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } 
, které se vztahují k jednotkovým vektorům pro osy x, y a z. Běžně se zapisují pouze jako i, j a k.
Lze je zapsat takto: i ^ = [ 1 0 0 ] , j ^ = [ 0 1 0 ] , k ^ = [ 0 0 1 ] {\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1&0&0\konec{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0&1&0\konec{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0&0&1\konec{bmatrix}} 
Otázky a odpovědi
Otázka: Co je to jednotkový vektor?
Odpověď: Jednotkový vektor je každý vektor, který má délku jedna.
Otázka: Jak se obvykle zapisují jednotkové vektory?
A: Jednotkové vektory se obvykle zapisují stejně jako normální vektory, ale s kroužkem nad písmenem.
Otázka: Jak můžete z vektoru udělat jednotkový vektor?
Odpověď: Chcete-li z vektoru udělat jednotkový vektor, musíte ho vydělit jeho délkou.
Otázka: Jaký bude výsledek převedení vektoru na jednotkový vektor?
Odpověď: Výsledný jednotkový vektor bude mít stejný směr jako původní vektor.
Otázka: Existuje příklad, jak zapsat jednotkový vektor?
Odpověď: Ano, například v^{\displaystyle \mathbf {\hat {v}}. } je zápis pro jednotkový vektor v{\displaystyle \mathbf {v} }. .
Otázka: Lze ze všech vektorů vytvořit jednotkové vektory?
Odpověď: Ano, z každého typu vektoru lze vytvořit jednotkový vektor tak, že jej vydělíme jeho délkou.
Vyhledávání